Bài 56 trang 118 SBT Toán 11 - Cánh diều: Cho mặt phẳng $\left( P \right)$, ba điểm $A$, $B$...

Cho mặt phẳng $\left( P \right)$, ba điểm $A$, $B$, $C$ không thẳng hàng và không nằm trên $\left( P \right)$. Chứng minh rằng nếu ba đường thẳng $AB$, $BC$, $CA$ cắt mặt phẳng $\left( P \right)$ lần lượt tại các điểm $M$, $N$, $P$ thì $M$, $N$, $P$ thẳng hàng.

Chứng minh rằng 3 điểm $M$, $N$, $P$ cùng thuộc giao tuyến của $\left( P \right)$ và $\left( {ABC} \right)$.

Do ba điểm $A$, $B$, $C$ không thẳng hàng, nên tồn tại một mặt phẳng $\left( Q \right)$ đi qua 3 điểm này.

Vì $M \in AB$, mà $AB \subset \left( Q \right)$ nên $M \in \left( Q \right)$. Mặt khác, do $M \in \left( P \right)$ nên hai mặt phẳng $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$ có điểm chung. Từ đó ta suy ra tồn tại giao tuyến của $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$, và $M$ nằm trên giao tuyến này.

Chứng minh tương tự, ta cũng suy ra $N$ và $P$ cũng nằm trên giao tuyến của $\left( P \right)$ và $\left( Q \right)$. Do đó, ba điểm $M$, $N$, $P$ thẳng hàng.

Bài toán được chứng minh.