Bài 5 trang 90 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1: Xét tính liên tục của các hàm số sau...

Xét tính liên tục của các hàm số sau:

a) $f\left( x \right) = {x^3} - {x^2} + 2$;

b) $f\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{{{x^2} - 4x}}$;

c) $f\left( x \right) = \frac{{2x - 1}}{{{x^2} - x + 1}}$

d) $f\left( x \right) = \sqrt {{x^2} - 2x}$.

Sử dụng kiến thức về tính liên tục của hàm số sơ cấp để xét tính liên tục của hàm số:

a) Hàm số đa thức $y = P\left( x \right)$ có liên tục trên $\mathbb{R}$.

b, c) Hàm số phân thức $y = \frac{{P\left( x \right)}}{{Q\left( x \right)}}$ liên tục trên các khoảng của tập xác định của chúng (với P(x) và Q(x) là các đa thức).

d) Hàm số căn thức $y = \sqrt {P\left( x \right)}$ liên tục trên các khoảng của tập xác định của chúng (với P(x) là đa thức).

a) Hàm số $f\left( x \right)$ $= {x^3} - {x^2} + 2$ là hàm đa thức nên hàm số $f\left( x \right)$ $= {x^3} - {x^2} + 2$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

b) Hàm số $f\left( x \right)$ $= \frac{{x + 1}}{{{x^2} - 4x}}$ xác định khi ${x^2} - 4x \ne 0 \Leftrightarrow x\left( {x - 4} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 0\\x \ne 4\end{array} \right.$

Tập xác định của hàm số $f\left( x \right)$ $= \frac{{x + 1}}{{{x^2} - 4x}}$ là $D$ $= \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {0;4} \right) \cup \left( {4; + \infty } \right)$.

Do đó, hàm số $f\left( x \right)$ $= \frac{{x + 1}}{{{x^2} - 4x}}$ liên tục trên các khoảng $\left( { - \infty ;0} \right)$, $\left( {0;4} \right)$và $\left( {4; + \infty } \right)$.

c) Vì ${x^2} - x + 1$ $= {x^2} - 2.x.\frac{1}{2} + {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}$ $= {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4}\forall x \in \mathbb{R}$

Do đó, hàm số $f\left( x \right)$ $= \frac{{2x - 1}}{{{x^2} - x + 1}}$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

d) Hàm số $f\left( x \right)$ $= \sqrt {{x^2} - 2x}$ xác định khi ${x^2} - 2x \ge 0 \Leftrightarrow x\left( {x - 2} \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 \ge 0\\x \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 2\\x \le 0\end{array} \right.$

Tập xác định của hàm số $f\left( x \right)$ $= \sqrt {{x^2} - 2x}$ là $D$ $= \left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)$.

Do đó, hàm số $f\left( x \right)$ $= \sqrt {{x^2} - 2x}$ liên tục trên các khoảng $\left( { - \infty ;0} \right]$ và $\left[ {2; + \infty } \right)$.