Cho \(a > b > 0\) và \(\lim \frac{{{a^{n + 1}} + {b^n}}}{{2{a^n} + {b^{n + 1}}}} = 1\). Tìm giá trị của a.
+ Sử dụng kiến thức về các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số để tính: Cho \(\lim {u_n} = a,\lim {v_n} = b\) và c là hằng số: \(\lim \left( {{u_n} \pm {v_n}} \right) = a \pm b\), \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{a}{b}\left( {b \ne 0} \right)\).
+ Sử dụng kiến thức về giới hạn hữu hạn của dãy số để tính: \(\lim \frac{c}{{{n^k}}} = 0\) với k là số nguyên dương, \(\lim c = c\) (c là hằng số)
Vì \(a > b > 0 \Rightarrow 0
Ta có: \(\lim \frac{{{a^{n + 1}} + {b^n}}}{{2{a^n} + {b^{n + 1}}}} = \lim \frac{{1 + \frac{1}{a}{{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^n}}}{{\frac{2}{a} + {{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^{n + 1}}}} = \frac{{1 + \lim \left[ {\frac{1}{a}{{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^n}} \right]}}{{\frac{2}{a} + \lim {{\left( {\frac{b}{a}} \right)}^{n + 1}}}} = \frac{a}{2}\)
Mà \(\lim \frac{{{a^{n + 1}} + {b^n}}}{{2{a^n} + {b^{n + 1}}}} = 1\) nên \(\frac{a}{2} = 1 \Rightarrow a = 2\)