Tìm các nghiệm của mỗi phương trình sau trong khoảng \(\left( { - \pi ;\pi } \right)\).
a) \(\sin \left( {3x - \frac{\pi }{3}} \right) = 1\);
b) \(2\cos \left( {2x - \frac{{3\pi }}{4}} \right) = \sqrt 3 \);
c) \(\tan \left( {x + \frac{\pi }{9}} \right) = \tan \frac{{4\pi }}{9}\).
Sử dụng kiến thức về phương trình lượng giác cơ bản để giải:
a) Phương trình \(\sin x = m\) có nghiệm khi \(\left| m \right| \le 1\). Khi đó, nghiệm của phương trình là \(x = \alpha + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\); \(x = \pi - \alpha + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) với \(\alpha \) là góc thuộc \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) sao cho \(\sin \alpha = m\).
Đặc biệt: \(\sin u = \sin v \) \( \Leftrightarrow u = v + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) hoặc \(u = \pi - v + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
b) Phương trình \(\cos x = m\) có nghiệm khi \(\left| m \right| \le 1\). Khi đó, nghiệm của phương trình là \(x = \alpha + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\); \(x = - \alpha + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) với \(\alpha \) là góc thuộc \(\left[ {0;\pi } \right]\) sao cho \(\cos \alpha = m\).
Đặc biệt: \(\cos u = \cos v \) \( \Leftrightarrow u = v + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) hoặc \(u = - v + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
c) Với mọi số thực m, phương trình \(\tan x = m\) có nghiệm \(x = \alpha + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) với \(\alpha \) là góc thuộc \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) sao cho \(\tan \alpha = m\).
a) \(\sin \left( {3x - \frac{\pi }{3}} \right) = 1 \) \( \Leftrightarrow 3x - \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \) \( \Leftrightarrow x = \frac{{5\pi }}{{18}} + \frac{{k2\pi }}{3}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Vì \(x \in \left( { - \pi ;\pi } \right) \Rightarrow - \pi
Mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \left\{ { - 1;0;1} \right\}\). Do đó, \(x \in \left\{ {\frac{{ - 7\pi }}{{18}};\frac{{5\pi }}{{18}};\frac{{17\pi }}{{18}}} \right\}\).
b) \(2\cos \left( {2x - \frac{{3\pi }}{4}} \right) = \sqrt 3 \) \( \Leftrightarrow \cos \left( {2x - \frac{{3\pi }}{4}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \) \( \Leftrightarrow \cos \left( {2x - \frac{{3\pi }}{4}} \right) = \cos \frac{\pi }{6}\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \frac{{3\pi }}{4} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\2x - \frac{{3\pi }}{4} = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{11\pi }}{{24}} + k\pi \\x = \frac{{7\pi }}{{24}} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Vì \(x \in \left( { - \pi ;\pi } \right)\) nên:
TH1: \( - \pi
Mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \left\{ { - 1;0} \right\}\). Do đó, \(x \in \left\{ {\frac{{ - 13\pi }}{{24}};\frac{{11\pi }}{{24}}} \right\}\).
TH2: \( - \pi
Mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \left\{ { - 1;0} \right\}\). Do đó, \(x \in \left\{ {\frac{{ - 17\pi }}{{24}};\frac{{7\pi }}{{24}}} \right\}\).
Vậy \(x \in \left\{ {\frac{{ - 17\pi }}{{24}};\frac{{ - 13\pi }}{{24}};\frac{{7\pi }}{{24}};\frac{{11\pi }}{{24}}} \right\}\).
c) \(\tan \left( {x + \frac{\pi }{9}} \right) = \tan \frac{{4\pi }}{9} \) \( \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{9} = \frac{{4\pi }}{9} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \) \( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
Vì \(x \in \left( { - \pi ;\pi } \right) \Rightarrow - \pi
Mà \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \left\{ { - 1;0} \right\}\). Do đó, \(x \in \left\{ {\frac{{ - 2\pi }}{3};\frac{\pi }{3}} \right\}\).