Bài 5 trang 39 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2: Một vật chuyển động có quãng đường được xác định bởi phương trình \(s\left( t \right) = 2{t^2} + 5t...

Một vật chuyển động có quãng đường được xác định bởi phương trình $s\left( t \right) = 2{t^2} + 5t + 2$, trong đó s tính bằng mét và t là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc tức thời tại thời điểm $t = 4$.

+ Sử dụng kiến thức về định nghĩa đạo hàm để tính: Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ và ${x_0} \in \left( {a;b} \right)$. Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$ thì giới hạn này được gọi là đạo hàm của hàm số f(x) tại ${x_0}$, kí hiệu là $f’\left( {{x_0}} \right)$ hoặc $y’\left( {{x_0}} \right)$. Vậy $f’\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}$

+ Sử dụng kiến thức về ý nghĩa đạo hàm để tính: Nếu hàm số $s = f\left( t \right)$ biểu thị quãng đường di chuyển của vật theo thời gian t thì $f’\left( {{t_0}} \right)$ biểu thị tốc độ tức thời của chuyển động tại thời điểm ${t_0}$

Ta có: Với ${t_0}$ bất kì ta có:

$s’\left( {{t_0}} \right)$ $= \mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \frac{{s\left( t \right) - s\left( {{t_0}} \right)}}{{t - {t_0}}}$ $= \mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \frac{{2{t^2} + 5t + 2 - 2t_0^2 - 5{t_0} - 2}}{{t - {t_0}}}$ $= \mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \frac{{2\left( {{t^2} - t_0^2} \right) + 5\left( {t - {t_0}} \right)}}{{t - {t_0}}}$ $= \mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \frac{{\left( {t - {t_0}} \right)\left( {2t + 2{t_0} + 5} \right)}}{{t - {t_0}}}$ $= \mathop {\lim }\limits_{t \to {t_0}} \left( {2t + 2{t_0} + 5} \right)$ $= 4{t_0} + 5$

Do đó, $s’\left( t \right) = 4t + 5$

Vậy vận tốc tức thời tại thời điểm $t = 4$ là: $s’\left( 4 \right) = 4.4 + 5 = 21$ (giây)