Bài 6 trang 45 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau biết f và g là các hàm số có đạo hàm trên...

Tính đạo hàm của các hàm số sau biết f và g là các hàm số có đạo hàm trên $\mathbb{R}$:

a) $y = f\left( {{x^3}} \right)$;

b) $y = \sqrt {{f^2}\left( x \right) + {g^2}\left( x \right)}$.

Sử dụng kiến thức về đạo hàm của hàm hợp: Cho hàm số $u = g\left( x \right)$ có đạo hàm tại x là $u_x’$ và hàm số $y = f\left( u \right)$ có đạo hàm tại u là $y_u’$ thì hàm hợp $y = f\left( {g\left( x \right)} \right)$ có đạo hàm tại x là $y_x’ = y_u’.u_x’$.

a) $y’$ $= {\left[ {f\left( {{x^3}} \right)} \right]’}$ $= \left( {{x^3}} \right)’.f’\left( {{x^3}} \right)$ $= 3{x^2}.f’\left( {{x^3}} \right)$;

b) $y’$ $= {\left( {\sqrt {{f^2}\left( x \right) + {g^2}\left( x \right)} } \right)’}$ $= \frac{{{{\left( {{f^2}\left( x \right) + {g^2}\left( x \right)} \right)}’}}}{{2\sqrt {{f^2}\left( x \right) + {g^2}\left( x \right)} }}$ $= \frac{{2f\left( x \right)f’\left( x \right) + 2g\left( x \right).g’\left( x \right)}}{{2\sqrt {{f^2}\left( x \right) + {g^2}\left( x \right)} }}$

$= \frac{{2\left[ {f\left( x \right)f’\left( x \right) + g\left( x \right).g’\left( x \right)} \right]}}{{2\sqrt {{f^2}\left( x \right) + {g^2}\left( x \right)} }}$ $= \frac{{f\left( x \right)f’\left( x \right) + g\left( x \right).g’\left( x \right)}}{{\sqrt {{f^2}\left( x \right) + {g^2}\left( x \right)} }}$