Bài 5 trang 45 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau...

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = \frac{{x\sin x}}{{1 - \tan x}}$;

b) $y = \cos \sqrt {{x^2} - x + 1}$;

c) $y = {\sin ^2}3x$;

d) $y = {\cos ^2}\left( {\cos 3x} \right)$.

+ Sử dụng kiến thức về đạo hàm của hàm hợp: Cho hàm số $u = g\left( x \right)$ có đạo hàm tại x là $u_x’$ và hàm số $y = f\left( u \right)$ có đạo hàm tại u là $y_u’$ thì hàm hợp $y = f\left( {g\left( x \right)} \right)$ có đạo hàm tại x là $y_x’ = y_u’.u_x’$.

+ Sử dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để tính:

a) ${\left( {\frac{u}{v}} \right)’} = \frac{{u’v - uv’}}{{{v^2}}}\left( {v = v\left( x \right) \ne 0} \right)$, $\left( {uv} \right)’ = u’v + uv’$, $\left( {\sin x} \right)’ = \cos x$, $\left( {\tan x} \right)’ = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}$

b) $\left( {\cos u\left( x \right)} \right)’ = - \left( {u\left( x \right)} \right)’\sin u\left( x \right)$, $\left( {\sqrt {u\left( x \right)} } \right)’ = \frac{{u’\left( x \right)}}{{2\sqrt {u\left( x \right)} }}$

c) $\left( {\sin u\left( x \right)} \right)’ = \left( {u\left( x \right)} \right)’\cos u\left( x \right)$,$\left( {\cos u\left( x \right)} \right)’ = - \left( {u\left( x \right)} \right)’\sin u\left( x \right)$

d) $\left( {{{\left[ {u\left( x \right)} \right]}^\alpha }} \right)’ = \alpha {\left[ {u\left( x \right)} \right]^{\alpha - 1}}\left[ {u\left( x \right)} \right]’$, $\left( {\sin u\left( x \right)} \right)’ = \left( {u\left( x \right)} \right)’\cos u\left( x \right),$ $\left( {\cos u\left( x \right)} \right)’ = - \left( {u\left( x \right)} \right)’\sin u\left( x \right)$

a) $y’$ $= {\left( {\frac{{x\sin x}}{{1 - \tan x}}} \right)’}$ $= \frac{{\left( {x\sin x} \right)’\left( {1 - \tan x} \right) - \left( {x\sin x} \right)\left( {1 - \tan x} \right)’}}{{{{\left( {1 - \tan x} \right)}^2}}}$

$= \frac{{\left( {\sin x + x\cos x} \right)\left( {1 - \tan x} \right) + \left( {x\sin x} \right)\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}}}{{{{\left( {1 - \tan x} \right)}^2}}}$

$= \frac{{\sin x + x\cos x - \sin x\tan x - x\sin x + \frac{{x\sin x}}{{{{\cos }^2}x}}}}{{{{\left( {1 - \tan x} \right)}^2}}}$ $= \frac{{\sin x + x\cos x - \sin x\tan x - x\sin x\left( {1 - \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}} \right)}}{{{{\left( {1 - \tan x} \right)}^2}}}$

$= \frac{{\sin x + x\cos x - \sin x\tan x + x\sin x{{\tan }^2}x}}{{{{\left( {1 - \tan x} \right)}^2}}}$

b) $y’$ $= {\left( {\cos \sqrt {{x^2} - x + 1} } \right)’}$ $= - \left( {\sqrt {{x^2} - x + 1} } \right)’\sin \sqrt {{x^2} - x + 1}$ $= - \frac{{\left( {{x^2} - x + 1} \right)’}}{{2\sqrt {{x^2} - x + 1} }}\sin \sqrt {{x^2} - x + 1}$

$= - \frac{{2x - 1}}{{2\sqrt {{x^2} - x + 1} }}\sin \sqrt {{x^2} - x + 1}$

c) $y’$ $= {\left( {{{\sin }^2}3x} \right)’}$ $= 2\sin 3x\left( {\sin 3x} \right)’$ $= 6\sin 3x\cos 3x$ $= 3\sin 6x$

d) $y’$ $= {\left[ {{{\cos }^2}\left( {\cos 3x} \right)} \right]’}$ $= 2\cos \left( {\cos 3x} \right)\left[ {\cos \left( {\cos 3x} \right)} \right]’$$= - 2\cos \left( {\cos 3x} \right)\sin \left( {\cos 3x} \right)\left( {\cos 3x} \right)’$ $= 6\cos \left( {\cos 3x} \right)\sin \left( {\cos 3x} \right)\sin 3x$

$= 3\sin \left( {2\cos 3x} \right)\sin 3x$