Xét tính tăng, giảm của các dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) cho bởi số hạng tổng quát \({u_n}\) sau:
a) \({u_n} = n - \sqrt {{n^2} - 1} \);
b) \({u_n} = \frac{{n + {{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{n^2}}}\);
c) \({u_n} = \frac{{{3^n} - 1}}{{{2^n}}}\).
Sử dụng kiến thức về dãy số tăng, giảm để xét tính tăng giảm của dãy số: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\).
+ Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số tăng nếu \({u_{n + 1}} > {u_n},\forall n \in \mathbb{N}*\).
+ Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là dãy số giảm nếu \({u_{n + 1}}
a) \({u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {n + 1} \right) - \sqrt {{{\left( {n + 1} \right)}^2} - 1} - n + \sqrt {{n^2} - 1} \)\( = 1 - \sqrt {{{\left( {n + 1} \right)}^2} - 1} - \sqrt {{n^2} - 1}
Do đó, \({u_{n + 1}}
b) Ta có: \({u_1} = 0;{u_2} = \frac{3}{4};{u_3} = \frac{2}{9}\). Vì \({u_1} {u_3}\) nên dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số không tăng, không giảm.
c) Ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{{3^{n + 1}} - 1}}{{{2^{n + 1}}}} - \frac{{{3^n} - 1}}{{{2^n}}}\)\( = \frac{{{3^{n + 1}} - 1 - {{2.3}^n} + 2}}{{{2^{n + 1}}}} = \frac{{{3^n} + 1}}{{{2^{n + 1}}}} > 0\forall n \in \mathbb{N}*\)
Do đó, \({u_{n + 1}} > {u_n}\)\(\forall n \in \mathbb{N}*\). Suy ra, dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.