Bài 6 trang 58 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1: Xét tính tăng, giảm của các dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ cho bởi số hạng tổng quát ${u_n}$ sau...

Xét tính tăng, giảm của các dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ cho bởi số hạng tổng quát ${u_n}$ sau:

a) ${u_n} = n - \sqrt {{n^2} - 1}$;

b) ${u_n} = \frac{{n + {{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{{n^2}}}$;

c) ${u_n} = \frac{{{3^n} - 1}}{{{2^n}}}$.

Sử dụng kiến thức về dãy số tăng, giảm để xét tính tăng giảm của dãy số: Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$.

+ Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là dãy số tăng nếu ${u_{n + 1}} > {u_n},\forall n \in \mathbb{N}*$.

+ Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là dãy số giảm nếu \({u_{n + 1}}

a) ${u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {n + 1} \right) - \sqrt {{{\left( {n + 1} \right)}^2} - 1} - n + \sqrt {{n^2} - 1}$\( = 1 - \sqrt {{{\left( {n + 1} \right)}^2} - 1} - \sqrt {{n^2} - 1}

Do đó, \({u_{n + 1}}

b) Ta có: ${u_1} = 0;{u_2} = \frac{3}{4};{u_3} = \frac{2}{9}$. Vì ${u_1} {u_3}$ nên dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số không tăng, không giảm.

c) Ta có: ${u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{{3^{n + 1}} - 1}}{{{2^{n + 1}}}} - \frac{{{3^n} - 1}}{{{2^n}}}$$= \frac{{{3^{n + 1}} - 1 - {{2.3}^n} + 2}}{{{2^{n + 1}}}} = \frac{{{3^n} + 1}}{{{2^{n + 1}}}} > 0\forall n \in \mathbb{N}*$

Do đó, ${u_{n + 1}} > {u_n}$$\forall n \in \mathbb{N}*$. Suy ra, dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số tăng.