Bài 7 trang 58 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với \({u_n} = 1 + \frac{1}{{{2^2}}}...

Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = 1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{n^2}}}$.

* Sử dụng kiến thức về dãy số tăng, giảm để xét tính tăng giảm của dãy số: Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$.

+ Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là dãy số tăng nếu ${u_{n + 1}} > {u_n},\forall n \in \mathbb{N}*$.

+ Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là dãy số giảm nếu \({u_{n + 1}}

* Sử dụng kiến thức về dãy bị chặn để xét tính bị chặn của dãy số:

+ Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho ${u_n} \le M,\forall n \in \mathbb{N}*$.

+ Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho ${u_n} \ge m,\forall n \in \mathbb{N}*$.

+ Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, nghĩa là tồn tại các số M và m sao cho $m \le {u_n} \le M,\forall n \in \mathbb{N}*$.

Ta có: ${u_{n + 1}} = 1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}$

Ta có:

${u_{n + 1}} - {u_n} = 1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{n^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} - \left( {1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{n^2}}}} \right)$$= \frac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} > 0\forall n \in \mathbb{N}*$

Suy ra, ${u_{n + 1}} > {u_n}$$\forall n \in \mathbb{N}*$. Suy ra, dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số tăng.

Do \({u_n} = 1 + \frac{1}{{{2^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{n^2}}}

\( \Rightarrow {u_n}

Do đó, \(1

Suy ra, $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số bị chặn.