Bài 7 trang 13 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2: Đặt ${\log _2}3 = a, {\log _2}5 = b$. Hãy biểu thị các biểu thức sau theo a và b...

Đặt ${\log _2}3 = a,{\log _2}5 = b$. Hãy biểu thị các biểu thức sau theo a và b.

a) ${\log _2}45$;

b) ${\log _2}\frac{{\sqrt {15} }}{6}$;

c) ${\log _3}20$.

Sử dụng kiến thức về phép tính lôgarit để tính:

a) Với $a > 0,a \ne 1,M > 0,N > 0$ ta có: ${\log _a}\left( {MN} \right) = {\log _a}M + {\log _a}N$

b) Với $a > 0,a \ne 1,M > 0,N > 0$ ta có: ${\log _a}\frac{M}{N} = {\log _a}M - {\log _a}N$, ${\log _a}\left( {MN} \right) = {\log _a}M + {\log _a}N$.

c) Cho các số dương a, b, N, $a \ne 1,b \ne 1$ ta có: ${\log _a}N = \frac{{{{\log }_b}N}}{{{{\log }_b}a}}$, ${\log _a}\left( {MN} \right) = {\log _a}M + {\log _a}N$

a) ${\log _2}45$ $= {\log _2}\left( {{3^2}.5} \right)$ $= {\log _2}{3^2} + {\log _2}5$ $= 2{\log _2}3 + {\log _2}5$ $= 2a + b$;

b) ${\log _2}\frac{{\sqrt {15} }}{6}$ $= {\log _2}\sqrt {15} - {\log _2}6$ $= \frac{1}{2}{\log _2}15 - {\log _2}\left( {2.3} \right)$ $= \frac{1}{2}{\log _2}3 + \frac{1}{2}{\log _2}5 - 1 - {\log _2}3$

$= \frac{1}{2}{\log _2}5 - \frac{1}{2}{\log _2}3 - 1$ $= \frac{1}{2}b - \frac{1}{2}a - 1$;

c) ${\log _3}20$ $= \frac{{{{\log }_2}20}}{{{{\log }_2}3}}$ $= \frac{{{{\log }_2}4 + {{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}3}}$ $= \frac{{2{{\log }_2}2 + {{\log }_2}5}}{{{{\log }_2}3}}$ $= \frac{{2 + b}}{a}$.