Tìm hoành độ các giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \sin 3x - \cos \left( {\frac{{3\pi }}{4} - x} \right)\) với trục hoành.
Sử dụng kiến thức về phương trình lượng giác cơ bản để giải: Phương trình \(\sin x = m\) có nghiệm khi \(\left| m \right| \le 1\). Khi đó, nghiệm của phương trình là \(x = \alpha + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\); \(x = \pi - \alpha + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) với \(\alpha \) là góc thuộc \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) sao cho \(\sin \alpha = m\).
Đặc biệt: \(\sin u = \sin v \) \( \Leftrightarrow u = v + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) hoặc \(u = \pi - v + k2\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \sin 3x - \cos \left( {\frac{{3\pi }}{4} - x} \right)\) với trục hoành là:
\(\sin 3x - \cos \left( {\frac{{3\pi }}{4} - x} \right) = 0 \) \( \Leftrightarrow \sin 3x = \cos \left( {\frac{{3\pi }}{4} - x} \right) \) \( \Leftrightarrow \sin 3x = \sin \left[ {\frac{\pi }{2} - \left( {\frac{{3\pi }}{4} - x} \right)} \right]\)
\( \Leftrightarrow \sin 3x = \sin \left( {\frac{{ - \pi }}{4} + x} \right) \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = \frac{{ - \pi }}{4} + x + k2\pi \\3x = \pi - \left( {\frac{{ - \pi }}{4} + x} \right) + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{ - \pi }}{8} + k\pi \\x = \frac{{5\pi }}{{16}} + \frac{{k\pi }}{2}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
Vậy hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \sin 3x - \cos \left( {\frac{{3\pi }}{4} - x} \right)\) với trục hoành là: \(x = \frac{{ - \pi }}{8} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right);x = \frac{{5\pi }}{{16}} + \frac{{k\pi }}{2}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)