Bài 7 trang 90 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1: Cho hai hàm số $f\left( x \right) = x - 1$ và \(g\left( x \right) = {x^2} - 3x...

Cho hai hàm số $f\left( x \right) = x - 1$ và $g\left( x \right) = {x^2} - 3x + 2$. Xét tính liên tục của các hàm số:

a) $y = f\left( x \right).g\left( x \right)$;

b) $y = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}$;

c) $y = \frac{1}{{\sqrt {f\left( x \right) + g\left( x \right)} }}$.

Sử dụng kiến thức về tổng, hiệu, tích thương của hàm số liên tục để xét tính liên tục của các hàm số: Cho hai hàm số $y = f\left( x \right)$ và $y = g\left( x \right)$ liên tục tại điểm ${x_0}$. Khi đó:

a) Hàm số $y = f\left( x \right).g\left( x \right)$ liên tục tại điểm ${x_0}$.

b) Hàm số $y = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}$ liên tục tại điểm ${x_0}$ nếu $g\left( {{x_0}} \right) \ne 0$.

c) Hàm số $y = \frac{1}{{\sqrt {f\left( x \right) + g\left( x \right)} }}$ liên tục tại điểm ${x_0}$ nếu $f\left( {{x_0}} \right) + g\left( {{x_0}} \right) > 0$.

Vì các hàm số $f\left( x \right)$ $= x - 1$ và $g\left( x \right)$ $= {x^2} - 3x + 2$ là các hàm đa thức nên f(x) và g(x) liên tục trên $\mathbb{R}$.

a) Vì f(x) và g(x) liên tục trên $\mathbb{R}$ nên hàm số $y$ $= f\left( x \right).g\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

b) Hàm số $y$ $= \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}$ xác định khi ${x^2} - 3x + 2 \ne 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 1\\x \ne 2\end{array} \right.$

Do đó, hàm số $y$ $= \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}$ có tập xác định là $D$ $= \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {1;2} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)$.

Vậy hàm số $y$ $= \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}$ liên tục trên các khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$, $\left( {1;2} \right)$ và $\left( {2; + \infty } \right)$.

c) Hàm số $y$ $= \frac{1}{{\sqrt {f\left( x \right) + g\left( x \right)} }}$ xác định khi $f\left( x \right) + g\left( x \right) > 0$

Suy ra: ${x^2} - 3x + 2 + x - 1 > 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 > 0 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} > 0 \Leftrightarrow x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1$

Do đó, hàm số $y$ $= \frac{1}{{\sqrt {f\left( x \right) + g\left( x \right)} }}$ có tập xác định là $D$ $= \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$.

Vậy hàm số $y$ $= \frac{1}{{\sqrt {f\left( x \right) + g\left( x \right)} }}$ liên tục trên các khoảng $\left( { - \infty ;1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$.