Bài 9 trang 91 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1: Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + ax + b\;khi\;\left| x \right|...

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + ax + b\;khi\;\left| x \right|

Sử dụng kiến thức về định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm để tìm a, b: Cho hàm $\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} \left( {{x^2} + ax + b} \right) = 4 - 2a + b$số$\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$$y = f\left( x \right)$ xác định trên khoảng K và ${x_0} \in K$. Hàm số $y = f\left( x \right)$ được gọi là liên tục tại điểm ${x_0}$ nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$.

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right)$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left[ {x\left( {2 - x} \right)} \right]$ $= 2\left( {2 - 2} \right)$ $= 0$ $= f\left( 2 \right)$;

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right)$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {{x^2} + ax + b} \right)$ $= {2^2} + 2a + b$ $= 2a + b + 4$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f\left( x \right)$ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} \left[ {x\left( {2 - x} \right)} \right]$ $= \left( { - 2} \right)\left( {2 + 2} \right)$ $= - 8$ $= f\left( { - 2} \right)$

Hàm số $y$ $= f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ khi hàm số $y$ $= f\left( x \right)$ liên tục tại $x$ $= 2$ và $x$ $= - 2$.

Do đó, $\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = f\left( 2 \right)\\\mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - {2^ + }} f\left( x \right) = f\left( { - 2} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}4 + 2a + b = 0\\4 - 2a + b = - 8\end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a + b = - 4\\ - 2a + b = - 12\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 8\end{array} \right.$

Ta có: $\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left[ {x\left( {2 - x} \right)} \right] = 2\left( {2 - 2} \right) = 0 = f\left( 2 \right)$;

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {{x^2} + ax + b} \right) = {2^2} + 2a + b = 2a + b + 4$