Câu 1
Biết rằng \({2^a} = 9\). Tính giá trị của biểu thức \({\left( {\frac{1}{8}} \right)^{\frac{a}{6}}}\).
A. \(\frac{1}{2}\)
B. \(\frac{1}{3}\)
C. \(\frac{1}{9}\)
D. 3
Sử dụng kiến thức về phương trình mũ cơ bản để giải: \({a^x} = b\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\)
+ Nếu \(b \le 0\) thì phương trình vô nghiệm.
+ Nếu \(b > 0\) thì phương trình có nghiệm duy nhất \(x = {\log _a}b\).
Ta có: \({2^a} = 9 \Rightarrow a = {\log _2}9\).
Do đó, \({\left( {\frac{1}{8}} \right)^{\frac{a}{6}}} \) \( = {\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)^a} \) \( = {\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)^{{{\log }_2}9}} \) \( = {\left( {\sqrt 2 } \right)^{ - \frac{1}{2}{{\log }_{\sqrt 2 }}9}} \) \( = {\left( {\sqrt 2 } \right)^{ - {{\log }_{\sqrt 2 }}{9^{\frac{1}{2}}}}} \) \( = \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^{{{\log }_{\sqrt 2 }}3}}}} \) \( = \frac{1}{3}\)
Chọn B
Câu 2
Giá trị của biểu thức \(2{\log _5}10 + {\log _5}0,25\) bằng
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
Sử dụng kiến thức về phép tính lôgarit: Với \(a > 0,a \ne 1,M > 0,N > 0\) ta có:
\({\log _a}{M^\alpha } = \alpha {\log _a}M\left( {\alpha \in \mathbb{R}} \right)\), \({\log _a}\left( {MN} \right) = {\log _a}M + {\log _a}N\), \({\log _a}{a^b} = b\)
\(2{\log _5}10 + {\log _5}0,25 \) \( = {\log _5}{10^2} + {\log _5}0,25 \) \( = {\log _5}\left( {100.0,25} \right) \) \( = {\log _5}{5^2} \) \( = 2\)
Chọn C.
Câu 3
Cho x và y là số dương. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. \({2^{\log x + \log y}} = {2^{\log x}} + {2^{\log y}}\)
B. \({2^{\log \left( {x + y} \right)}} = {2^{\log x}}{.2^{\log y}}\)
C. \({2^{\log \left( {xy} \right)}} = {2^{\log x}}{.2^{\log y}}\)
D. \({2^{\log x.\log y}} = {2^{\log x}} + {2^{\log y}}\)
Sử dụng kiến thức về phép tính lôgarit: Với \(a > 0,a \ne 1,M > 0,N > 0\) ta có: \({\log _a}\left( {MN} \right) = {\log _a}M + {\log _a}N\)
\({2^{\log x}}{.2^{\log y}} = {2^{\log x + \log y}} = {2^{\log \left( {xy} \right)}}\)
Chọn C
Câu 4
Biết rằng \(x = {\log _3}6 + {\log _9}4\). Giá trị của biểu thức \({3^x}\) bằng
A. 6
B. 12
C. 24
D. 48
Sử dụng kiến thức về phép tính lôgarit: Với \(a > 0,a \ne 1,M > 0,N > 0\) ta có:
\({\log _a}{M^\alpha } = \alpha {\log _a}M\left( {\alpha \in \mathbb{R}} \right)\), \({\log _a}\left( {MN} \right) = {\log _a}M + {\log _a}N\)
\(x \) \( = {\log _3}6 + {\log _9}4 \) \( = {\log _3}6 + \frac{1}{2}{\log _3}4 \) \( = {\log _3}6 + {\log _3}{4^{\frac{1}{2}}} \) \( = {\log _3}\left( {6.2} \right) \) \( = {\log _3}12\)
Do đó, \({3^x} \) \( = {3^{{{\log }_3}12}} \) \( = 12\)
Chọn B
Câu 5
Giá trị của biểu thức \(\left( {{{\log }_2}25} \right)\left( {{{\log }_5}8} \right)\) bằng
A. 4
B. \(\frac{1}{4}\)
C. 6
D. \(\frac{1}{6}\)
Sử dụng kiến thức về phép tính lôgarit để tính: Cho các số dương a, b, N, \(a \ne 1,b \ne 1\) ta có: \({\log _a}N = \frac{{{{\log }_b}N}}{{{{\log }_b}a}}\).
\(\left( {{{\log }_2}25} \right)\left( {{{\log }_5}8} \right) \) \( = {\log _2}25.\frac{{{{\log }_2}8}}{{{{\log }_2}5}} \) \( = 2{\log _2}5.\frac{{3{{\log }_2}2}}{{{{\log }_2}5}} \) \( = 6\)
Chọn C
Câu 6
Đặt \(\log 3 = a,\log 5 = b\). Khi đó, \({\log _{15}}50\) bằng
A. \(\frac{{1 + 2b}}{{a + b}}\)
B. \(\frac{{a - b}}{{a + b}}\)
C. \(\frac{{1 - b}}{{a + b}}\)
D. \(\frac{{1 + b}}{{a + b}}\)
Sử dụng kiến thức về phép tính lôgarit: Với \(a > 0,a \ne 1,M > 0,N > 0\) ta có:\({\log _a}\left( {MN} \right) = {\log _a}M + {\log _a}N\)
\({\log _{15}}50 \) \( = \frac{{\log 50}}{{\log 15}} \) \( = \frac{{\log \left( {5.10} \right)}}{{\log \left( {3.5} \right)}} \) \( = \frac{{\log 5 + \log 10}}{{\log 3 + \log 5}} \) \( = \frac{{b + 1}}{{a + b}}\)
Chọn D
Câu 7
Cho ba số \(a = {4^{0,9}},b = {8^{0,5}},c = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 1,6}}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. \(c > a > b\)
B. \(c > b > a\)
C. \(a > b > c\)
D. \(a > c > b\)
Sử dụng kiến thức về sự biến thiên của hàm số mũ \(y = {a^x}\) để so sánh:
+ Nếu \(a > 1\) thì hàm số \(y = {a^x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
+ Nếu \(0
Ta có: \(a \) \( = {\left( {{2^2}} \right)^{0,9}} \) \( = {2^{1,8}},b \) \( = {\left( {{2^3}} \right)^{0,5}} \) \( = {2^{1,5}},c \) \( = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 1,6}} \) \( = {2^{1,6}}\)
Vì \(2 > 1\) nên hàm số \(y \) \( = {2^x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\). Mà \(1,8 > 1,6 > 1,5\) nên \({2^{1,8}} > {2^{1,6}} > {2^{1,5}}\) nên \(a > c > b\).
Chọn D
Câu 8
Cho ba số \(a = - {\log _{\frac{1}{3}}}\frac{1}{2},b = {\log _{\frac{1}{3}}}\frac{1}{2}\) và \(c = \frac{1}{2}{\log _3}5\). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. \(a
B. \(b
C. \(c
D. \(a
Sử dụng kiến thức về sự biến thiên của hàm số \(y = {\log _a}x\) để so sánh:
+ Nếu \(a > 1\) thì hàm số \(y = {\log _a}x\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
+ Nếu \(0
\(a \) \( = - {\log _{\frac{1}{3}}}\frac{1}{2} \) \( = {\log _3}\frac{1}{2},b \) \( = {\log _{\frac{1}{3}}}\frac{1}{2} \) \( = - {\log _3}{2^{ - 1}} \) \( = {\log _3}2,c \) \( = \frac{1}{2}{\log _3}5 \) \( = {\log _3}\sqrt 5 \)
Vì \(3 > 1\) nên hàm số \(y \) \( = {\log _3}x\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Mà \(\frac{1}{2}
Chọn A
Câu 9
Cho \(0
A. \(x
B. \(y
C. \(z
D. \(z
- Sử dụng kiến thức về sự biến thiên của hàm số \(y = {\log _a}x\) để so sánh:
+ Nếu \(a > 1\) thì hàm số \(y = {\log _a}x\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
+ Nếu \(0
- So sánh với 0.
\(x = {\log _a}\sqrt 2 + {\log _a}\sqrt 3 = {\log _a}\left( {\sqrt 2 .\sqrt 3 } \right) = {\log _a}\sqrt 6 \), \(y = \frac{1}{2}{\log _a}5 = {\log _a}\sqrt 5 \)
\(z = {\log _a}\sqrt {14} - {\log _a}\sqrt 2 = {\log _a}\frac{{\sqrt {14} }}{{\sqrt 2 }} = {\log _a}\sqrt 7 \)
Vì \(0
Mà \(\sqrt 5
Chọn C
Câu 10
Cho ba số \(a = {\log _{\frac{1}{2}}}3,b = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{0,3}},c = {2^{\frac{1}{3}}}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
A. \(a
Advertisements (Quảng cáo)
B. \(a
C. \(c
D. \(b
- Sử dụng kiến thức về sự biến thiên của hàm số \(y = {\log _a}x\) để so sánh:
+ Nếu \(a > 1\) thì hàm số \(y = {\log _a}x\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
+ Nếu \(0
- Sử dụng kiến thức về sự biến thiên của hàm số mũ \(y = {a^x}\) để so sánh:
+ Nếu \(a > 1\) thì hàm số \(y = {a^x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
+ Nếu \(0
\(a = {\log _{\frac{1}{2}}}3 = - {\log _2}3,b = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{0,3}} = {2^{ - 0,3}},c = {2^{\frac{1}{3}}}\)
Vì \(2 > 1\) nên hàm số \(y = {2^x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\). Mà \( - 0,3
Hàm số \(y = {a^x}\) luôn nằm phía trên trục hoành nên \({2^{\frac{1}{3}}} > 0,{2^{ - 0,3}} > 0\)
Lại có: \( - {\log _2}3
Do đó, \( - {\log _2}3
Chọn A
Câu 11
Giải phương trình \({3^{4x}} = \frac{1}{{3\sqrt 3 }}\)
A. \( - \frac{1}{4}\)
B. \( - \frac{3}{8}\)
C. \(\frac{3}{8}\)
D. \(\frac{1}{{12\sqrt 3 }}\)
Sử dụng kiến thức về giải phương trình mũ cơ bản để giải phương trình:
\({a^x} = b\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\)
+ Nếu \(b \le 0\) thì phương trình vô nghiệm.
+ Nếu \(b > 0\) thì phương trình có nghiệm duy nhất \(x = {\log _a}b\)
Chú ý: Với \(a > 0,a \ne 1\) thì \({a^x} = {a^\alpha } \Leftrightarrow x = \alpha \), tổng quát hơn: \({a^{u\left( x \right)}} = {a^{v\left( x \right)}} \Leftrightarrow u\left( x \right) = v\left( x \right)\)
\({3^{4x}} = \frac{1}{{3\sqrt 3 }} \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 3 } \right)^{2.4x}} = {\left( {\sqrt 3 } \right)^{ - 3}} \Leftrightarrow 8x = - 3 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 3}}{8}\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = \frac{{ - 3}}{8}\)
Chọn B
Câu 12
Tập nghiệm của bất phương trình \(0,{3^{3x - 1}} > 0,09\) là
A. \(\left( {1; + \infty } \right)\)
B. \(\left( { - \infty ;1} \right)\)
C. \(\left( { - \infty ; - \frac{1}{3}} \right)\)
D. \(\left( {0;1} \right)\)
Sử dụng kiến thức về giải bất phương trình chứa mũ để giải bất phương trình:
Bảng tổng kết về nghiệm của các bất phương trình:
|
Bất phương trình |
\(b \le 0\) |
\(b > 0\) |
|
|
\(a > 1\) |
\(0 |
||
|
\({a^x} > b\) |
\(\forall x \in \mathbb{R}\) |
\(x > {\log _a}b\) |
\(x |
|
\({a^x} \ge b\) |
\(x \ge {\log _a}b\) |
\(x \le {\log _a}b\) |
|
|
\({a^x} |
Vô nghiệm |
\(x |
\(x > {\log _a}b\) |
|
\({a^x} \le b\) |
\(x \le {\log _a}b\) |
\(x \ge {\log _a}b\) |
|
Chú ý:
+ Nếu \(a > 1\) thì \({a^{u\left( x \right)}} > {a^{v\left( x \right)}} \Leftrightarrow u\left( x \right) > v\left( x \right)\)
+ Nếu \(0 {a^{v\left( x \right)}} \Leftrightarrow u\left( x \right)
\(0,{3^{3x - 1}} > 0,09 \Leftrightarrow 0,{3^{3x - 1}} > 0,{3^2} \Leftrightarrow 3x - 1
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(S = \left( { - \infty ;1} \right)\)
Chọn B
Câu 13
Biết rằng \({\log _3}4.{\log _4}8.{\log _8}x = {\log _8}64\). Giá trị của x là
A. \(\frac{9}{2}\)
B. 9
C. 27
D. 81
Sử dụng kiến thức về giải phương trình lôgarit để giải phương trình:
\({\log _a}x = b\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\)
Phương trình luôn có nghiệm duy nhất là \(x = {a^b}\).
Chú ý: Với \(a > 0,a \ne 1\) thì \({\log _a}u\left( x \right) = b \Leftrightarrow u\left( x \right) = {a^b}\), \({\log _a}u\left( x \right) = {\log _a}v\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u\left( x \right) > 0\\u\left( x \right) = v\left( x \right)\end{array} \right.\) (có thể thay \(u\left( x \right) > 0\) bằng \(v\left( x \right) > 0\))
Điều kiện: \(x > 0\).
\({\log _3}4.{\log _4}8.{\log _8}x = {\log _8}64 \) \( \Leftrightarrow \frac{{{{\log }_8}4}}{{{{\log }_8}3}}.\frac{{{{\log }_8}8}}{{{{\log }_8}4}}.{\log _8}x = {\log _8}64 \) \( \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\log }_8}3}}{\log _8}x = {\log _8}{8^2}\)
\( \) \( \Leftrightarrow {\log _8}x = 2.{\log _8}3 \) \( \Leftrightarrow {\log _8}x = {\log _8}9 \) \( \Leftrightarrow x = 9\) (thỏa mãn)
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 9\)
Chọn B
Câu 14
Giải phương trình \({\log _5}\left( {4x + 5} \right) = 2 + {\log _5}\left( {x - 4} \right)\)
A. 9
B. 15
C. 4
D. 5
Sử dụng kiến thức về giải phương trình lôgarit để giải phương trình:
\({\log _a}x = b\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\)
Phương trình luôn có nghiệm duy nhất là \(x = {a^b}\).
Chú ý: Với \(a > 0,a \ne 1\) thì \({\log _a}u\left( x \right) = b \Leftrightarrow u\left( x \right) = {a^b}\), \({\log _a}u\left( x \right) = {\log _a}v\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u\left( x \right) > 0\\u\left( x \right) = v\left( x \right)\end{array} \right.\) (có thể thay \(u\left( x \right) > 0\) bằng \(v\left( x \right) > 0\))
Điều kiện: \(x > 4\)
\({\log _5}\left( {4x + 5} \right) = 2 + {\log _5}\left( {x - 4} \right) \) \( \Leftrightarrow {\log _5}\left( {4x + 5} \right) = {\log _5}{5^2} + {\log _5}\left( {x - 4} \right)\)
\( \) \( \Leftrightarrow {\log _5}\left( {4x + 5} \right) = {\log _5}25\left( {x - 4} \right) \Leftrightarrow 4x + 5 = 25x - 100 \Leftrightarrow 21x = 105 \Leftrightarrow x = 5\) ™
Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 5\)
Chọn D
Câu 15
Giả sử \(\alpha \) và \(\beta \) là hai nghiệm của phương trình \({\log _2}x.{\log _2}3x = - \frac{1}{3}\). Khi đó tích \(\alpha \beta \) bằng
A. \(\frac{1}{3}\)
B. 3
C. \(\sqrt 3 \)
D. \({\log _2}3\)
Sử dụng kiến thức về giải phương trình lôgarit để giải phương trình:
\({\log _a}x = b\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\)
Phương trình luôn có nghiệm duy nhất là \(x = {a^b}\).
Chú ý: Với \(a > 0,a \ne 1\) thì \({\log _a}u\left( x \right) = b \Leftrightarrow u\left( x \right) = {a^b}\), \({\log _a}u\left( x \right) = {\log _a}v\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u\left( x \right) > 0\\u\left( x \right) = v\left( x \right)\end{array} \right.\) (có thể thay \(u\left( x \right) > 0\) bằng \(v\left( x \right) > 0\))
Điều kiện: \(x > 0\)
\({\log _2}x.{\log _2}3x = - \frac{1}{3} \Leftrightarrow {\log _2}x\left( {{{\log }_2}x + {{\log }_2}3} \right) = - \frac{1}{3}\)
\( \Leftrightarrow 3{\left( {{{\log }_2}x} \right)^2} + 3{\log _2}x.{\log _2}3 + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _2}x = \frac{{ - 3{{\log }_2}3 + \sqrt {9{{\left( {{{\log }_2}3} \right)}^2} - 12} }}{6}\\{\log _2}x = \frac{{ - 3{{\log }_2}3 - \sqrt {9{{\left( {{{\log }_2}3} \right)}^2} - 12} }}{6}\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {2^{\frac{{ - 3{{\log }_2}3 + \sqrt {9{{\left( {{{\log }_2}3} \right)}^2} - 12} }}{6}\left( {tm} \right)}}\\x = {2^{\frac{{ - 3{{\log }_2}3 - \sqrt {9{{\left( {{{\log }_2}3} \right)}^2} - 12} }}{6}\left( {tm} \right)}}\end{array} \right.\)
Do đó, tích hai nghiệm là:
\(\alpha .\beta = {2^{\frac{{ - 3{{\log }_2}3 + \sqrt {9{{\left( {{{\log }_2}3} \right)}^2} - 12} }}{6}}}{.2^{\frac{{ - 3{{\log }_2}3 - \sqrt {9{{\left( {{{\log }_2}3} \right)}^2} - 12} }}{6}}} = {2^{\frac{{ - 6{{\log }_2}3}}{6}}} = {2^{{{\log }_2}\frac{1}{3}}} = \frac{1}{3}\)
Chọn A