Bài 1 trang 25 SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2: Tính giá trị của các biểu thức \({\left( {\frac{{27}}{8}} \right)^{\frac{5}{6}}}...

Tính giá trị của các biểu thức

a) ${\left( {\frac{{27}}{8}} \right)^{\frac{5}{6}}}.{\left( {\frac{{{4^{\frac{3}{2}}}}}{{{3^3}}}} \right)^{\frac{1}{2}}}$;

b) $\log \sqrt 5 + \log \sqrt 2$;

c) ${\left( {\frac{{16}}{{81}}} \right)^{ - \frac{3}{4}}} + {\log _5}\frac{9}{4} + {\log _5}\frac{4}{9}$;

d) ${\log _2}7.{\log _3}16.{\log _9}3.{\log _7}9$.

a) Sử dụng kiến thức về lũy thừa với số mũ để tính: ${\left( {{a^\alpha }} \right)^\beta } = {a^{\alpha \beta }}$, ${a^\alpha }.{a^\beta } = {a^{\alpha + \beta }}$

b) Sử dụng kiến thức về phép tính lôgarit để tính: Với $a > 0,a \ne 1,M > 0,N > 0$ ta có: ${\log _a}\left( {MN} \right) = {\log _a}M + {\log _a}N$

c) + Sử dụng kiến thức về lũy thừa với số mũ để tính: ${\left( {{a^\alpha }} \right)^\beta } = {a^{\alpha \beta }}$

Sử dụng kiến thức về phép tính lôgarit để tính: ${\log _a}\left( {MN} \right) = {\log _a}M + {\log _a}N$

d) Sử dụng kiến thức về phép tính lôgarit để tính: Cho các số dương a, b, N, $a \ne 1,b \ne 1$ ta có: ${\log _a}N = \frac{{{{\log }_b}N}}{{{{\log }_b}a}}$, ${\log _a}\left( {MN} \right) = {\log _a}M + {\log _a}N$

a) ${\left( {\frac{{27}}{8}} \right)^{\frac{5}{6}}}.{\left( {\frac{{{4^{\frac{3}{2}}}}}{{{3^3}}}} \right)^{\frac{1}{2}}}$ $= {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{3.\frac{5}{6}}}{\left( {\frac{{{2^{2.\frac{3}{2}}}}}{{{3^3}}}} \right)^{\frac{1}{2}}}$ $= {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{\frac{5}{2}}}.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^{\frac{3}{2}}}$ $= {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{\frac{5}{2}}}.{\left( {\frac{3}{2}} \right)^{\frac{{ - 3}}{2}}}$ $= {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{\frac{5}{2} + \frac{{ - 3}}{2}}}$ $= \frac{3}{2}$;

b) $\log \sqrt 5 + \log \sqrt 2$ $= \log \left( {\sqrt 5 .\sqrt 2 } \right)$ $= \log \sqrt {10}$ $= \log {10^{\frac{1}{2}}}$ $= \frac{1}{2}$;

c) ${\left( {\frac{{16}}{{81}}} \right)^{ - \frac{3}{4}}} + {\log _5}\frac{9}{4} + {\log _5}\frac{4}{9}$ $= {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{4.\frac{{ - 3}}{4}}} + {\log _5}\left( {\frac{9}{4}.\frac{4}{9}} \right)$ $= {\left( {\frac{2}{3}} \right)^{ - 3}} + {\log _5}1$ $= {\left( {\frac{3}{2}} \right)^3}$ $= \frac{{27}}{8}$;

d) ${\log _2}7.{\log _3}16.{\log _9}3.{\log _7}9$ $= \frac{{{{\log }_9}7}}{{{{\log }_9}2}}.{\log _7}9.2{\log _3}4.\frac{1}{2}{\log _3}3$ $= \frac{1}{{{{\log }_7}9.{{\log }_9}2}}.{\log _7}9.{\log _3}4$

$= \frac{{2{{\log }_3}2}}{{\frac{1}{2}{{\log }_3}2}}$ $= 4$