Hằng ngày, Mặt trời chiếu sáng, bóng của một tòa chung cư cao 40m in trên mặt đất, độ dài bóng của tòa nhà này được tính bằng công thức
\(S(t) = 40\left| {\cot \frac{\pi }{{12}}t} \right|\),
Ở đó S được tính bằng mét, còn t là số giờ tính từ 6 giờ sáng.
a) Tính độ dài bóng của tòa nhà tại các thời điểm 8 giờ sáng, 12 giờ trưa, 2 giờ chiều và 5 giờ 45 phút chiều.
b) Tại thời điểm nào thì độ dài bóng của tòa nhà bằng chiều cao tòa nhà?
c) Bóng tòa nhà sẽ như thế nào khi thời gian tiến dần đến 6 giờ tối?
Dựa vào công thức \(S(t) = 40\left| {\cot \frac{\pi }{{12}}t} \right|\) đề làm
a) Tại thời điểm 8 giờ sáng ta có \(t = 8 - 6 = 2\). Vậy độ dài bóng của tòa nhà tại thời điểm 8 giờ sáng là
\(\) \(S(2) = 40\left| {\cot \left( {\frac{\pi }{{12}}.2} \right)} \right| = 40\sqrt 3 \,(m)\)
Tại thời điểm 12 giờ trưa ta có \(t = 12 - 6 = 6\). Vậy độ dài bóng của tòa nhà tại thời điểm 12 giờ trưa là
\(S(6) = 40\left| {\cot \left( {\frac{\pi }{{12}}.6} \right)} \right| = 0\,(m)\)
Tại thời điểm 2 giờ chiều (14h) ta có \(t = 14 - 6 = 8\). Vậy độ dài bóng của tòa nhà tại thời điểm 2 giờ chiều là
\(S(8) = 40\left| {\cot \left( {\frac{\pi }{{12}}.8} \right)} \right| = \frac{{40\sqrt 3 }}{3}\,(m)\)
Tại thời điểm 5 giờ 45 chiều tối (17h45) ta có \(t = 17 + \frac{3}{4} - 6 = \frac{{47}}{4}\). Vậy độ dài bóng của tòa nhà tại thời điểm 2 giờ chiều là
\(S\left( {\frac{{47}}{4}} \right) = 40\left| {\cot \left( {\frac{\pi }{{12}}.\frac{{47}}{4}} \right)} \right| \approx 610,28\,(m)\)
b) Độ dài bóng của tòa nhà bằng chiều cao của tòa nhà khi
\(\begin{array}{l}S(t) = 40 \Leftrightarrow 40\left| {\cot \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right)} \right| = 40 \Leftrightarrow \cot \left( {\frac{\pi }{{12}}t} \right) = \pm 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \frac{\pi }{{12}}t = \pm \frac{\pi }{4} + k\pi \Leftrightarrow t = \pm 3 + 12k\,\,(k \in \mathbb{Z}).\end{array}\)
Vì \(0 \le t \le 12\) nên \(t = 3\) hoặc \(t = 9\), tức là tại thời điểm 9 giờ sáng hoặc 3 giờ chiều thì bóng của tòa nhà dài bằng chiều cao của tòa nhà.
c) Khi thời gian tiến dần đến 6 giờ tối thì t tiến dần đến 12. Vì vậy \(\frac{\pi }{{12}}t \to \pi \), do đó \(\cot \frac{\pi }{{12}}t \to - \infty \). Như vậy, bóng của tòa nhà sẽ tiến ra vô cùng.