Bài 2.21 trang 39 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Chứng minh rằng mỗi dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ sau là một cấp số nhân...

Chứng minh rằng mỗi dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ sau là một cấp số nhân. Hãy tìm số hạng đầu và công bội của nó:

a) ${u_n} = - 3.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}$;

b) ${u_n} = \frac{{{2^n}}}{{{3^{n - 1}}}}$;

Xét thương: $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}}$, tìm được thương là một hằng số (q) thì dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số nhân với ${u_1}$ ứng với $n = 1$ và công bội bằng q.

a) Từ ${u_n} = - 3.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^n}$ suy ra ${u_{n + 1}} = - 3.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^{n + 1}}$

Do đó, $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{ - 3.{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^{n + 1}}}}{{ - 3.{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^n}}} = \frac{1}{2}\forall n$

Vậy dãy số trên là cấp số nhân với ${u_1} = \frac{{ - 3}}{2}$ và công bội $q = \frac{1}{2}$

b) Từ ${u_n} = \frac{{{2^n}}}{{{3^{n - 1}}}}$ suy ra ${u_{n + 1}} = \frac{{{2^{n + 1}}}}{{{3^n}}}$

Do đó, $\frac{{{u_{n + 1}}}}{{{u_n}}} = \frac{{\frac{{{2^{n + 1}}}}{{{3^n}}}}}{{\frac{{{2^n}}}{{{3^{n - 1}}}}}} = \frac{2}{3}\forall n$

Vậy dãy số trên là cấp số nhân với ${u_1} = 2$ và công bội $q = \frac{2}{3}$