Bài 21 trang 69 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Cho hình chóp đều $S. ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$...

Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $a$, cạnh bên $SA$ bằng $a\sqrt 2$. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $BD$ và $SC$ là

A. $\frac{{a\sqrt 6 }}{4}$.

B. $\frac{{a\sqrt 6 }}{3}$.

C. $\frac{{a\sqrt 6 }}{2}$.

D. $\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$.

Chứng minh $BD \bot \left( {SAC} \right)$ tại $O$. Kẻ $OH \bot SC,H \in SC$.

Chứng minh $OH$ là đoạn vuông góc chung của $BD$ và $SC$

Tính $OH$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}SO \bot \left( {ABCD} \right)\\BD \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SO \bot BD\\BD \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)$

Kẻ $OH \bot SC,H \in SC$

Ta có $\left\{ \begin{array}{l}BD \bot \left( {SAC} \right)\\OH \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot BD$

Khoảng cách giữa hai đường thẳng $BD$ và $SC$ là$OH$

Có $SO \bot AC \Rightarrow SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = \sqrt {2{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$

$OH = \frac{{SO.OC}}{{\sqrt {S{O^2} + O{C^2}} }} = \frac{{\frac{{a\sqrt 6 }}{2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 6 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{4}$

Chọn A