Bài 22 trang 69 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Cho hình lăng trụ $ABC \cdot A’B’C’$ có $AA’B’C’$ là hình tứ diền đều cạnh bằng $a$...

Cho hình lăng trụ $ABC \cdot A’B’C’$ có $AA’B’C’$ là hình tứ diền đều cạnh bằng $a$. Thể tích khối lăng trụ $ABC \cdot A’B’C’$ bằng

A. $\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}$.

B. $\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}$.

C. $\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{3}$.

D. $\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}$.

Gọi $O$ là tâm đáy$A’B’C’$,$O$ là trọng tâm đáy$A’B’C’$

Suy $AO \bot \left( {\;A’B’C’} \right)$

Tính $AO,$ diện tích tam giác $A’B’C’$

Thể tích khối lăng trụ $ABC.A’B’C’$ bằng$V = AO.{S_{A’B’C’}}$

Do tứ diện $AA’B’C’$ là hình tứ diền đều cạnh bằng $a$.

Gọi $O$ là tâm đáy$A’B’C’$,$O$ là trọng tâm đáy$A’B’C’$

$A’M = \frac{{a\sqrt 3 }}{2};A’O = \frac{2}{3}A’M = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$

Ta có $AO \bot \left( {\;A’B’C’} \right) \Rightarrow AO = \sqrt {A{{A’}^2} - A'{O^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{3}} \right)}^2}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}$

Diện tích tam giác $A’B’C’:S = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$

Thể tích khối lăng trụ $ABC \cdot A’B’C’$ bằng$V = AO.{S_{A’B’C’}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}$

Chọn B