Bài 25 trang 70 SBT Toán 11 - Kết nối tri thức: Cho ${\rm{sin}}x = - \frac{1}{3}, x \in \left( {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right)$. Tính giá trị ${\rm{cos}}\left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)$...

Cho ${\rm{sin}}x = - \frac{1}{3},x \in \left( {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right)$. Tính giá trị ${\rm{cos}}\left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right)$.

Xét dấu $\cos x$ khi $x \in \left( {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right)$

Thay vào đẳng thức ${\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1$ ta tìm được $\cos x$

Áp dụng công thức cộng

$\cos \left( {a - b} \right) = \cos a.\cos b + \sin a.\sin b$

\(x \in \left( {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right) \Rightarrow \cos x

Ta tính được: ${\rm{cos}}x = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.

Khi đó:${\rm{cos}}\left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = \frac{1}{2}{\rm{cos}}2x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}{\rm{sin}}2x = \frac{1}{2}\left( {1 - 2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x} \right) + \sqrt 3 {\rm{sin}}x{\rm{cos}}x = \frac{{7 + 4\sqrt 6 }}{{18}}$.