Bài 1.14 trang 154 SBT Đại số và giải tích 11: Cho dãy số (bn) có số hạng tổng quát...

Cho dãy số $\left( {{b_n}} \right)$ có số hạng tổng quát là ${b_n} = \sin \alpha  + {\sin ^2}\alpha  + ... + {\sin ^n}\alpha$ với $\alpha  \ne {\pi  \over 2} + k\pi$. Tìm giới hạn của $\left( {{b_n}} \right)$

Giải:

Dãy số: $\sin \alpha ..{\sin ^n}\alpha ...$ với $\alpha  \ne {\pi  \over 2} + k\pi$, là một cấp số nhân vô hạn, công bội $q = \sin \alpha$

Vì $\left| {\sin \alpha } \right| < 1$ với $\alpha  \ne {\pi  \over 2} + k\pi$ nên $\left( {{{\sin }^n}\alpha } \right)$ là một cấp số nhân lùi vô hạn.

Hơn nữa, ${b_n} = \sin \alpha  + {\sin ^2}\alpha  + ... + {\sin ^n}\alpha  = {S_n}$

Do đó, $\lim {b_n} = \sin \alpha  + {\sin ^2}\alpha  + ... + {\sin ^n}\alpha  + ... = {{\sin \alpha } \over {1 - \sin \alpha }}$