Cho dãy số (bn) có số hạng tổng quát là. Bài 1.14 trang 154 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11 – Bài 1. Giới hạn của dãy số
Cho dãy số \(\left( {{b_n}} \right)\) có số hạng tổng quát là \({b_n} = \sin \alpha + {\sin ^2}\alpha + … + {\sin ^n}\alpha \) với \(\alpha \ne {\pi \over 2} + k\pi \). Tìm giới hạn của \(\left( {{b_n}} \right)\)
Giải:
Dãy số: \(\sin \alpha ..{\sin ^n}\alpha …\) với \(\alpha \ne {\pi \over 2} + k\pi \), là một cấp số nhân vô hạn, công bội \(q = \sin \alpha \)
Vì \(\left| {\sin \alpha } \right| < 1\) với \(\alpha \ne {\pi \over 2} + k\pi \) nên \(\left( {{{\sin }^n}\alpha } \right)\) là một cấp số nhân lùi vô hạn.
Hơn nữa, \({b_n} = \sin \alpha + {\sin ^2}\alpha + … + {\sin ^n}\alpha = {S_n}\)
Do đó, \(\lim {b_n} = \sin \alpha + {\sin ^2}\alpha + … + {\sin ^n}\alpha + … = {{\sin \alpha } \over {1 – \sin \alpha }}\)