Giả sử ABC là tam giác vuông cân tại A với độ dài cạnh góc vuông bằng 1. Ta tạo ra các hình vuông theo các bước sau đây :
- Bước 1: Dựng hình vuông màu xám có mộtđỉnhA, ba đỉnh còn lại là các trung điểm của ba cạnhAB, BC và AC (H.1). Kí hiệu hình vuông này là (1).
- Bước2 : Với 2 tam giác vuông cân màu trắng còn lại như trong hình 1, ta lại tạo được 2 hình vuông màu xám khác theo cách trên, kí hiệu là (2) (H.2).
- Bước 3: Với 4 tam giác vuông cân màu trắng như trong hình 2, ta lại tạo được 4 hình vuông mới màu xámtheo cách trên (H.3).
- …
- Bước thứ n :Ở bước này ta có 2n−1 hình vuông mới màu xám được tạo thành theo cách trên, kí hiệu là (n)
a) Gọi un là tổng diện tích của tất cả các hình vuông mới được tạo thành ở bước thứ n. Chứng minh rằng un=12n+1
b) Gọi Sn là tổng diện tích của tất cả các hình vuông màu xám có được sau n bước. Quan sát hình vẽ để dự đoán giới hạn của Sn khi n→+∞. Chứng minh dự đoán đó.
Giải:
a) Chứng minh bằng quy nạp un=12n+1 (1)
Advertisements (Quảng cáo)
- Với n = 1, một hình vuông được tạo thành có diện tích là u1=122
Vậy (1) đúng.
- Giả sử công thức (1) đúng với n=k(k≥1) nghĩa là uk=12k+1. Ta cần chứng minh (1) đúng với n=k+1 tức là chứng minh uk+1=12k+2
Thật vậy, ở bước thứ k ta có 2k−1 hình vuông mới màu xám được tạo thành.Ứng với mỗi hình vuông này ta lại tạo được hai hình vuông mới trong bước thứ k + 1
Tổng diện tích của hai hình vuông mới nàytrong bước thứ k + 1 bằng nửa diện tích của hình vuông tương ứng bước thứ k
Do đó, tổng diện tích tất cả các hình vuông mới có được trong bước thứ k + 1 là uk+1=12.12k+1=12k+2 Vậy (1) đúng với n = k + 1
- Kết luận: Với mọi n nguyên dương ta luôn có un=12n+1
b) Dự đoán : Sn→12SABC khi n→+∞ hay lim
Chứng minh :
\eqalign{ & {S_n} = {u_1} + {u_2} + ... + {u_n} \cr & = {1 \over {{2^2}}} + {1 \over {{2^3}}} + ... + {1 \over {{2^{n + 1}}}} \cr & = {1 \over 2} - {1 \over {{2^{n + 1}}}} \cr}
Từ đó suy ra \lim {S_n} = {1 \over 2}