Bài 1.4 trang 12 SBT Hình học 11 Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình...

Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình ${x^2} + {y^2} - 2x + 4y - 4 = 0$. Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow v  = \left( { - 2;5} \right)$.

Cách 1. Dễ thấy (C) là đường tròn tâm $I\left( {1; - 2} \right)$, bán kính $r = 3$.Gọi $I’ = {T_{\overrightarrow v }}\left( I \right) = \left( {1 - 2; - 2 + 5} \right) = \left( { - 1;3} \right)$ và (C’) là ảnh của (C) qua ${T_{\overrightarrow v }}$ thì (C’) là đường tròn tâm (I’) bán kính $r = 3$. Do đó (C’) có phương trình:

${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 9$

Cách 2.  Biểu thức tọa độ của ${T_{\overrightarrow v }}$ là

$\left\{ \matrix{ x’ = x - 2 \hfill \cr y’ = y + 5 \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ x = x’ + 2 \hfill \cr y = y’ - 5 \hfill \cr} \right.$

Thay vào phương trình của (C) ta được

$\eqalign{ & {\left( {x’ + 2} \right)^2} + {\left( {y’ - 5} \right)^2} - 2\left( {x’ + 2} \right) + 4\left( {y’ - 5} \right) - 4 = 0 \cr & \Leftrightarrow x{‘^2} + y{‘^2} + 2x’ - 6y’ + 1 = 0 \cr & \Leftrightarrow {\left( {x’ + 1} \right)^2} + {\left( {y’ - 3} \right)^2} = 9 \cr}$

Do đó (C’) có phương trình ${\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 9$