Nếu \(\lim {v_n} = 0\) và \(\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}\) với mọi n thì \(\lim {u_n} = 0\). Tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát như sau:
a) \({u_n} = {1 \over {n!}}\) ;
b) \({u_n} = {{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {2n - 1}}\) ;
c) \({u_n} = {{2 - n{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {1 + 2{n^2}}}\) ;
d) \({u_n} = {\left( {0,99} \right)^n}\cos n\) ;
e) \({u_n} = {5^n} - \cos \sqrt n \pi \)
Giải:
Advertisements (Quảng cáo)
a) Vì \(\left| {{1 \over {n!}}} \right| < {1 \over n}\) với mọi n và \(\lim {1 \over n} = 0\) nên \(\lim {1 \over {n!}} = 0\)
b) 0 ; c) 0 ; d) 0 ;
e) Ta có \({u_n} = {5^n} - \cos \sqrt n \pi = {5^n}\left( {1 - {{\cos \sqrt n \pi } \over {{5^n}}}} \right)\) (1)
Vì \(\left| {{{\cos \sqrt n \pi } \over {{5^n}}}} \right| \le {1 \over {{5^n}}}\) và \(\lim {1 \over {{5^n}}} = 0\) nên \(\lim {{\cos \sqrt n \pi } \over {{5^n}}} = 0\)
Do đó, \(\lim \left( {1 - {{\cos \sqrt n \pi } \over {{5^n}}}} \right) = 1 > 0\) (2)
Mặt khác, \(\lim {5^n} = + \infty \) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\lim \left( {{5^n} - \cos \sqrt n \pi } \right) = \lim {5^n}\left( {1 - {{\cos \sqrt n \pi } \over {{5^n}}}} \right) = + \infty \)