Bài 1.9 trang 154 bài tập SBT Đại số và giải tích 11: Tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát như sau...

Nếu $\lim {v_n} = 0$ và $\left| {{u_n}} \right| \le {v_n}$ với mọi n thì $\lim {u_n} = 0$. Tính giới hạn của các dãy số có số hạng tổng quát như sau:

a)  ${u_n} = {1 \over {n!}}$ ;

b) ${u_n} = {{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {2n - 1}}$ ;

c) ${u_n} = {{2 - n{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {1 + 2{n^2}}}$ ;

d) ${u_n} = {\left( {0,99} \right)^n}\cos n$      ;

e) ${u_n} = {5^n} - \cos \sqrt n \pi$   

Giải:

a)     Vì $\left| {{1 \over {n!}}} \right| < {1 \over n}$ với mọi n và $\lim {1 \over n} = 0$ nên $\lim {1 \over {n!}} = 0$

b)     0 ;             c) 0 ;                   d) 0 ;

e)     Ta có ${u_n} = {5^n} - \cos \sqrt n \pi  = {5^n}\left( {1 - {{\cos \sqrt n \pi } \over {{5^n}}}} \right)$    (1)

Vì $\left| {{{\cos \sqrt n \pi } \over {{5^n}}}} \right| \le {1 \over {{5^n}}}$ và $\lim {1 \over {{5^n}}} = 0$ nên $\lim {{\cos \sqrt n \pi } \over {{5^n}}} = 0$

Do đó, $\lim \left( {1 - {{\cos \sqrt n \pi } \over {{5^n}}}} \right) = 1 > 0$      (2)

Mặt khác,  $\lim {5^n} =  + \infty$    (3)           

Từ (1), (2) và (3) suy ra $\lim \left( {{5^n} - \cos \sqrt n \pi } \right) = \lim {5^n}\left( {1 - {{\cos \sqrt n \pi } \over {{5^n}}}} \right) =  + \infty$