Bài 2. 2 trang 163 Sách bài tập Đại số và giải tích 11: Cho hàm số...

Cho hàm số

$f\left( x \right) = \left\{ \matrix{ {x^2}{\rm{ ,\,\, nếu }}\,\,x \ge 0 \hfill \cr {x^2} - 1,\,\,{\rm{ nếu }}\,\,x < 0 \hfill \cr} \right.$

a)      Vẽ đồ thị của hàm số $f\left( x \right)$. Từ đó dự đoán về giới hạn của $f\left( x \right)$ khi $x \to 0$

b)      Dùng định nghĩa chứng minh dự đoán trên.

Giải:

$f\left( x \right) = \left\{ \matrix{ {x^2}{\rm{ ,\,\, nếu }}\,\,x \ge 0 \hfill \cr  {x^2} - 1,\,\,{\rm{ nếu }}\,\,x < 0 \hfill \cr} \right.$ 

a)      (H.6) Dự đoán : Hàm số $f\left( x \right)$ không có giới hạn khi $x \to 0$

b)      Lấy hai dãy số có số hạng tổng quát là ${a_n} = {1 \over n}$ và ${b_n} =  - {1 \over n}$

Ta có, ${a_n} \to 0$ và ${b_n} \to 0$ khi $n \to  + \infty$       (1)

Vì ${1 \over n} > 0$ nên $f\left( {{a_n}} \right) = {1 \over {{n^2}}}$

Do đó, $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } f\left( {{a_n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {1 \over {{n^2}}} = 0$           (2)

Vì $- {1 \over n} < 0$ nên $f\left( {{b_n}} \right) = {1 \over {{n^2}}} - 1$

Do đó, $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } f\left( {{b_n}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } \left( {{1 \over {{n^2}}} - 1} \right) =  - 1$       (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $f\left( x \right)$ không có giới hạn khi $x \to 0$