Bài 2.3 trang 163 SBT Đại số và giải tích 11: Giải thích bằng đồ thị kết luận ở câu...

a)      Chứng minh rằng hàm số $y = \sin x$ không có giới hạn khi $x \to  + \infty$

b)      Giải thích bằng đồ thị kết luận ở câu a).

Giải :

a)      Xét hai dãy số $\left( {{a_n}} \right)$ với ${a_n} = 2n\pi$ và $\left( {{b_n}} \right)$ với $\left( {{b_n}} \right) = {\pi  \over 2} + 2n\pi {\rm{ }}\left( {n \in N*} \right)$

Ta có, $\lim {a_n} = \lim 2n\pi  =  + \infty$ ;

$\lim {b_n} = \lim \left( {{\pi  \over 2} + 2n\pi } \right)$

$= \lim n\left( {{\pi  \over {2n}} + 2\pi } \right) =  + \infty$

$\lim \sin {a_n} = \lim \sin 2n\pi  = \lim 0 = 0$

$\lim \sin {b_n} = \lim \sin \left( {{\pi  \over 2} + 2n\pi } \right) = \lim 1 = 1$

Như vậy,  ${a_n} \to  + \infty ,{\rm{  }}{b_n} \to  + \infty$ nhưng $\lim \sin {a_n} \ne \lim \sin {b_n}$. Do đó, theo định nghĩa, hàm số $y = \sin x$ không có giới hạn khi $x \to  + \infty$