Bài 2.28 trang 80 SBT Hình học 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD, O là giao điểm...

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD, O là giao điểm hai đường chéo, AC = a, BD = b, tam giác SBD đều. Gọi I là điểm di động trên đoạn AC với . Lấy là mặt phẳng đi qua I và song song với mặt phẳng (SBD).

a) Xác định thiết diện của mặt phẳng  với hình chóp S.ABCD.

b) Tìm diện tích S của thiết diện ở câu a) theo a, b, x. Tìm x để S lớn nhất.

a) Trường hợp 1 .

I  thuộc đoạn $AO\left( {0 < x < {a \over 2}} \right)$

Khi đó I ở vị trí I₁

Ta có: $\left( \alpha  \right)\parallel \left( {SB{\rm{D}}} \right)$

$\Rightarrow \left\{ \matrix{ \left( \alpha \right)\parallel B{\rm{D}} \hfill \cr \left( \alpha \right)\parallel SO \hfill \cr} \right.$ 

Vì $\left( \alpha  \right)\parallel BD$ nên $\left( \alpha  \right)$ cắt (ABD) theo giao tuyến  M₁N₁ ( qua I₁) song song với BD

Tương tự $\left( \alpha  \right)\parallel SO$ nên $\left( \alpha  \right)$ cắt (SOA) theo giao tuyến

S₁I₁ song song với SO.

Ta có thiết diện trong trường hợp này là tam giác ${S_1}{M_1}{N_1}$.

Nhận xét. Dễ thấy rằng ${S_1}{M_1}\parallel SB$ và ${S_1}{N_1}\parallel S{\rm{D}}$. Lúc đó tam giác ${S_1}{M_1}{N_1}$ đều.

Trường hợp 2. I thuộc đoạn $OC\left( {{a \over 2} < x < a} \right)$

Khi đó I ở vị trí I₂. Tương tự như trường hợp 1 ta có thiết diện là tam giác đều ${S_2}{M_2}{N_2}$ có ${M_2}{N_2}\parallel B{\rm{D}}$, ${S_2}{M_2}\parallel SB$, ${S_2}{N_2}\parallel S{\rm{D}}$.

Trường hợp 3. $I \equiv O$. Thiết diện chính là tam giác đều SBD.

b) Ta lần lượt tìm diện tích thiết diện trong các trường hợp 1,2,3.

Trường hợp 1 . I  thuộc đoạn $AO\left( {0 < x < {a \over 2}} \right)$

${{{S_{{S_1}{M_1}{N_1}}}} \over {{s_{SB{\rm{D}}}}}} = {\left( {{{{M_1}{N_1}} \over {B{\rm{D}}}}} \right)^2} = {\left( {{{2x} \over a}} \right)^2}$

${S_{{S_1}{M_1}{N_1}}} = {{4{{\rm{x}}^2}} \over {{a^2}}}.{S_{SB{\rm{D}}}} = {{4{{\rm{x}}^2}} \over {{a^2}}}.{{{b^2}\sqrt 3 } \over 4} = {{{b^2}{x^2}\sqrt 3 } \over {{a^2}}}$ 

Trường hợp 2 . I thuộc đoạn $OC\left( {{a \over 2} < x < a} \right)$

${{{S_{{S_2}{M_2}{N_2}}}} \over {{S_{SBD}}}} = {\left( {{{{M_2}{N_2}} \over {BD}}} \right)^2} = \left[ {{{2{{\left( {a - x} \right)}^2}} \over a}} \right]$ 

${S_{{S_2}{M_2}{N_2}}} = {4 \over {{a^2}}}{\left( {a - x} \right)^2}.{{{b^2}\sqrt 3 } \over 4} = {{{b^2}\sqrt 3 } \over {{a^2}}}{\left( {a - x} \right)^2}$

Trường hợp 3. $I \equiv O$  .

${S_{SBD}} = {{{b^2}\sqrt 3 } \over 4}$

Tóm lại

${S_{thiết\,diện}} = \left\{ \matrix{ {{{b^2}{x^2}\sqrt 3 } \over {{a^2}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,nếu\,\,0 < x < {a \over 2} \hfill \cr {{{b^2}\sqrt 3 } \over 4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,nếu\,\,x = {a \over 2} \hfill \cr {{{b^2}\sqrt 3 } \over {{a^2}}}{\left( {a - x} \right)^2}\,\,nếu\,\,{a \over 2} < x < a\, \hfill \cr} \right.$

* Đồ thị của hàm số S theo biến x như sau: 

Vậy S_{thiết diện} lớn nhất  khi và chỉ khi $x = {a \over 2}$.