Câu 52 trang 60 Sách Bài tập Hình học 11 Nâng cao: Xác định thiết diện của hình hộp khi cắt bởi mặt phẳng (P) qua điểm...

52. Trang 60 Sách Bài tập Hình học 11 Nâng cao

Cho hình hộp ABCD.A₁B₁C₁D₁. Gọi O₁ là trọng tâm của hình bình hành A₁B₁C₁D₁; K là trung điểm của CD; E là trung điểm BO₁.

a) Chứng minh rằng E nằm trên mp(ACB₁).

b) Xác định thiết diện của hình hộp khi cắt bởi mặt phẳng (P) qua điểm K và song song với mặt phẳng (EAC).

a) Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. Dễ thấy B₁O₁OB là hình bình hành, nên trung điểm E của đường chéo BO₁ cũng là trung điểm của đường chéo OB₁. Do đó E nằm trên OB₁. Mà OB₁ nằm trên mp(ACB₁).Vậy E nằm trên mp(ACB₁).

b) Theo câu a) thì mp(ACB₁) cũng là mp(EAC). Do đó (P) là mặt phẳng qua K và song song với mp(ACB₁). Từ K kẻ đường thẳng song song với AC cắt AD, AB, BC lần lượt tại K₁, J, H. Từ J kẻ đường thẳng song song với AB₁, cắt AA₁, A₁B₁, BB₁ lần lượt tại K₂, K₃, I. Nối I và H cắt B₁C₁, C₁C tại K₄ và K₅.

Dễ thấy thiết diện là lục giác KK₁K₂K₃K₄K₅ có các cạnh đối song song với nhau.