Bài 3.1 trang 131 Sách bài tập (SBT) Hình học 11: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh Gọi O và O’ theo thứ tự là...

Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh a. Gọi O và O’ theo thứ tự là tâm của hai hình vuông ABCD và A’B’C’D’.

a) Hãy biểu diễn các vectơ $\overrightarrow {AO} ,\overrightarrow {AO’}$ theo các vectơ có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh của hình lập phương đã cho.

b) Chứng minh rằng $\overrightarrow {A{\rm{D}}}  + \overrightarrow {D’C’}  + \overrightarrow {D’A’}  = \overrightarrow {AB}$.

a) *$\overrightarrow {AO}  = {1 \over 2}\overrightarrow {AC}  = {1 \over 2}\overrightarrow {A’C’}  = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {A{\rm{D}}} } \right)$

$\overrightarrow {AO}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BO}  = \overrightarrow {AB}  + {1 \over 2}\overrightarrow {B{\rm{D}}} ,v.v....$

*$\overrightarrow {AO}  = {1 \over 2}\overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {AA’}$

$\eqalign{ & = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {AA’} + \overrightarrow {AC’} } \right) = {1 \over 2}\left( {\overrightarrow {AB’} + \overrightarrow {AD’} } \right) \cr & = \overrightarrow {AA’} + \overrightarrow {A’B’} + {1 \over 2}\overrightarrow {B’D’} \cr & = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BB’} + {1 \over 2}\overrightarrow {B’D’} ,v.v... \cr}$

b) $\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {D’C’}  + \overrightarrow {D’A’}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DC}  + \overrightarrow {CB}$

(vì $\overrightarrow {D’C’}  = \overrightarrow {DC}$ và $\overrightarrow {D’A’}  = \overrightarrow {CB}$) nên $\overrightarrow {A{\rm{D}}}  + \overrightarrow {D’C’}  + \overrightarrow {D’A’}  = \overrightarrow {AB}$.