Bài 3.6 trang 132 SBT Hình học 11: Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành...

Trên mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ cho hình bình hành ${A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$. Về một phía đối với mặt phẳng $\left( \alpha  \right)$ ta dựng hình bình hành ${A_2}{B_2}{C_2}{D_2}$. Trên các đoạn ${A_1}{A_2},{B_1}{B_2},{C_1}{C_2},{D_1}{D_2}$ ta lần lượt lấy các điểm A, B, C, D sao cho

${{A{A_1}} \over {A{A_2}}} = {{B{B_1}} \over {B{B_2}}} = {{C{C_1}} \over {C{C_2}}} = {{D{D_1}} \over {D{D_2}}} = 3$ 

Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành

Lấy điểm O cố định rồi đặt $\overrightarrow {O{A_1}}  = \overrightarrow {{a_1}} ,\,\,\overrightarrow {O{B_1}}  = \overrightarrow {{b_1}} ,\,\,\overrightarrow {O{C_1}}  = \overrightarrow {{c_1}} ,\,\,\overrightarrow {O{D_1}}  = \overrightarrow {{d_1}}$. Điều kiện cần và đủ để tứ giác ${A_1}{B_1}{C_1}{D_1}$ là hình bình hành là $\overrightarrow {{a_1}}  + \overrightarrow {{c_1}}  = \overrightarrow {{b_1}}  + \overrightarrow {{d_1}}$ ( theo bài tập 3.2)   (1)

Đặt $\overrightarrow {O{A_2}}  = \overrightarrow {{a_2}} ,\overrightarrow {O{B_2}}  = \overrightarrow {{b_2}} ,\overrightarrow {O{C_2}}  = \overrightarrow {{c_2}} ,\overrightarrow {O{D_2}}  = \overrightarrow {{d_2}}$. Điều kiện cần và đủ để tứ giác ${A_2}{B_2}{C_2}{D_2}$ là hình bình hành là $\overrightarrow {{a_2}}  + \overrightarrow {{c_2}}  = \overrightarrow {{b_2}}  + \overrightarrow {{d_2}}$     (2)

Đặt $\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow b ,\,\,\overrightarrow {OC}  = \overrightarrow c ,\,\,\overrightarrow {OD}  = \overrightarrow d$.

Ta có ${{A{A_1}} \over {A{A_2}}} = 3 \Rightarrow \overrightarrow {A{A_1}}  =  - 3\overrightarrow {A{A_2}}$

$\eqalign{ & \Leftrightarrow \overrightarrow {O{A_1}} - \overrightarrow {OA} = 3\left( {\overrightarrow {O{A_2}} - \overrightarrow {OA} } \right) \cr & \Leftrightarrow \overrightarrow {{a_1}} - \overrightarrow a = - 3\left( {\overrightarrow {{a_2}} - \overrightarrow a } \right) \cr & \Leftrightarrow \overrightarrow a = {1 \over 4}\left( {\overrightarrow {{a_1}} + 3\overrightarrow {{a_2}} } \right) \cr}$

Tương tự: $\overrightarrow b  = {1 \over 4}\left( {\overrightarrow {{b_1}}  + 3\overrightarrow {{b_2}} } \right)$,

$\overrightarrow c  = {1 \over 4}\left( {\overrightarrow {{c_1}}  + 3\overrightarrow {{c_2}} } \right),\overrightarrow {\,\,d}  = {1 \over 4}\left( {\overrightarrow {{d_1}}  + 3\overrightarrow {{d_2}} } \right)$.

Ta có: $\overrightarrow a  + \overrightarrow c  = {1 \over 4}\left( {\overrightarrow {{a_1}}  + 3\overrightarrow {{a_2}} } \right) + {1 \over 4}\left( {\overrightarrow {{c_1}}  + 3\overrightarrow {{c_2}} } \right)$

$= {1 \over 4}\left( {\overrightarrow {{a_1}}  + \overrightarrow {{c_1}} } \right) + {3 \over 4}\left( {\overrightarrow {{a_2}}  + \overrightarrow {{c_2}} } \right)$

Và:

$\eqalign{ & \overrightarrow b + \overrightarrow d = {1 \over 4}\left( {\overrightarrow {{b_1}} + 3\overrightarrow {{b_2}} } \right) + {1 \over 4}\left( {\overrightarrow {{d_1}} + 3\overrightarrow {{d_2}} } \right) \cr & = {1 \over 4}\left( {\overrightarrow {{b_1}} + \overrightarrow {{d_1}} } \right) + {3 \over 4}\left( {\overrightarrow {{b_2}} + \overrightarrow {{d_2}} } \right) \cr}$

Từ (1) và (2) ta có $\overrightarrow {{a_1}}  + \overrightarrow {{c_1}}  = \overrightarrow {{b_1}}  + \overrightarrow {{d_1}}$ và $\overrightarrow {{a_2}}  + \overrightarrow {{c_2}}  = \overrightarrow {{b_2}}  + \overrightarrow {{d_2}}$ nên suy ra :

$\overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \overrightarrow c  + \overrightarrow d  \Leftrightarrow \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {O{\rm{D}}}$

⟺ tứ giác ABCD là hình bình hành.