Trang chủ Lớp 11 SBT Toán lớp 11 Bài 3.6 trang 132 SBT Hình học 11: Chứng minh rằng tứ...

Bài 3.6 trang 132 SBT Hình học 11: Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành...

Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành. Bài 3.6 trang 132 Sách bài tập (SBT) Hình học 11 – Bài 1. Vectơ trong không gian

Advertisements (Quảng cáo)

Trên mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) cho hình bình hành \({A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\). Về một phía đối với mặt phẳng \(\left( \alpha  \right)\) ta dựng hình bình hành \({A_2}{B_2}{C_2}{D_2}\). Trên các đoạn \({A_1}{A_2},{B_1}{B_2},{C_1}{C_2},{D_1}{D_2}\) ta lần lượt lấy các điểm A, B, C, D sao cho

\({{A{A_1}} \over {A{A_2}}} = {{B{B_1}} \over {B{B_2}}} = {{C{C_1}} \over {C{C_2}}} = {{D{D_1}} \over {D{D_2}}} = 3\) 

Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình bình hành

Lấy điểm O cố định rồi đặt \(\overrightarrow {O{A_1}}  = \overrightarrow {{a_1}} ,\,\,\overrightarrow {O{B_1}}  = \overrightarrow {{b_1}} ,\,\,\overrightarrow {O{C_1}}  = \overrightarrow {{c_1}} ,\,\,\overrightarrow {O{D_1}}  = \overrightarrow {{d_1}} \). Điều kiện cần và đủ để tứ giác \({A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) là hình bình hành là \(\overrightarrow {{a_1}}  + \overrightarrow {{c_1}}  = \overrightarrow {{b_1}}  + \overrightarrow {{d_1}} \) ( theo bài tập 3.2)   (1)

Đặt \(\overrightarrow {O{A_2}}  = \overrightarrow {{a_2}} ,\overrightarrow {O{B_2}}  = \overrightarrow {{b_2}} ,\overrightarrow {O{C_2}}  = \overrightarrow {{c_2}} ,\overrightarrow {O{D_2}}  = \overrightarrow {{d_2}} \). Điều kiện cần và đủ để tứ giác \({A_2}{B_2}{C_2}{D_2}\) là hình bình hành là \(\overrightarrow {{a_2}}  + \overrightarrow {{c_2}}  = \overrightarrow {{b_2}}  + \overrightarrow {{d_2}} \)     (2)

Đặt \(\overrightarrow {OA}  = \overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow {OB}  = \overrightarrow b ,\,\,\overrightarrow {OC}  = \overrightarrow c ,\,\,\overrightarrow {OD}  = \overrightarrow d \).

Ta có \({{A{A_1}} \over {A{A_2}}} = 3 \Rightarrow \overrightarrow {A{A_1}}  =  – 3\overrightarrow {A{A_2}} \)

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \overrightarrow {O{A_1}} – \overrightarrow {OA} = 3\left( {\overrightarrow {O{A_2}} – \overrightarrow {OA} } \right) \cr
& \Leftrightarrow \overrightarrow {{a_1}} – \overrightarrow a = – 3\left( {\overrightarrow {{a_2}} – \overrightarrow a } \right) \cr
& \Leftrightarrow \overrightarrow a = {1 \over 4}\left( {\overrightarrow {{a_1}} + 3\overrightarrow {{a_2}} } \right) \cr} \)

Tương tự: \(\overrightarrow b  = {1 \over 4}\left( {\overrightarrow {{b_1}}  + 3\overrightarrow {{b_2}} } \right)\),

\(\overrightarrow c  = {1 \over 4}\left( {\overrightarrow {{c_1}}  + 3\overrightarrow {{c_2}} } \right),\overrightarrow {\,\,d}  = {1 \over 4}\left( {\overrightarrow {{d_1}}  + 3\overrightarrow {{d_2}} } \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow a  + \overrightarrow c  = {1 \over 4}\left( {\overrightarrow {{a_1}}  + 3\overrightarrow {{a_2}} } \right) + {1 \over 4}\left( {\overrightarrow {{c_1}}  + 3\overrightarrow {{c_2}} } \right)\)

\(= {1 \over 4}\left( {\overrightarrow {{a_1}}  + \overrightarrow {{c_1}} } \right) + {3 \over 4}\left( {\overrightarrow {{a_2}}  + \overrightarrow {{c_2}} } \right)\)

Và:

\(\eqalign{
& \overrightarrow b + \overrightarrow d = {1 \over 4}\left( {\overrightarrow {{b_1}} + 3\overrightarrow {{b_2}} } \right) + {1 \over 4}\left( {\overrightarrow {{d_1}} + 3\overrightarrow {{d_2}} } \right) \cr
& = {1 \over 4}\left( {\overrightarrow {{b_1}} + \overrightarrow {{d_1}} } \right) + {3 \over 4}\left( {\overrightarrow {{b_2}} + \overrightarrow {{d_2}} } \right) \cr}\)

Từ (1) và (2) ta có \(\overrightarrow {{a_1}}  + \overrightarrow {{c_1}}  = \overrightarrow {{b_1}}  + \overrightarrow {{d_1}} \) và \(\overrightarrow {{a_2}}  + \overrightarrow {{c_2}}  = \overrightarrow {{b_2}}  + \overrightarrow {{d_2}} \) nên suy ra :

\(\overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \overrightarrow c  + \overrightarrow d  \Leftrightarrow \overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OC}  = \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {O{\rm{D}}} \)

⟺ tứ giác ABCD là hình bình hành.