Bài 3.1 trang 35 Sách bài tập Đại số và giải tích 11: Giải các phương trình sau...

Giải các phương trình sau

a) $\cos 2x - \sin x - 1 = 0$

b) $\cos x\cos 2x = 1 + \sin x\sin 2x$

c) $4\sin x\cos x\cos 2x =  - 1$

d) $\tan x = 3\cot x$

a) 

$\eqalign{ & \cos 2x - \sin x - 1 = 0 \cr & \Leftrightarrow 1 - 2{\sin ^2}x - \sin x - 1 = 0 \cr & \Leftrightarrow \sin x(2\sin x + 1) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \sin x = 0 \hfill \cr \sin x = - {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = k\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr x = - {\pi \over 6} + k2\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr x = {{7\pi } \over 6} + k2\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr} \right. \cr}$

b) 

$\eqalign{ & \cos x\cos 2x = 1 + \sin x\sin 2x \cr & \Leftrightarrow \cos x\cos 2x - \sin x\sin 2x = 1 \cr & \Leftrightarrow \cos 3x = 1 \Leftrightarrow 3x = k2\pi \cr & \Leftrightarrow x = {{k2\pi } \over 3},k \in {\rm Z} \cr}$

c) 

$\eqalign{ & 4\sin x\cos x\cos 2x = - 1 \cr & \Leftrightarrow 2\sin 2x\cos 2x = - 1 \cr & \Leftrightarrow \sin 4x = - 1 \cr & \Leftrightarrow 4x = - {\pi \over 2} + k2\pi ,k \in {\rm Z} \cr & \Leftrightarrow x = - {\pi \over 8} + k{\pi \over 2},k \in {\rm Z} \cr}$

d) 

$\tan x = 3\cot x$. Điều kiện cosx ≠ 0 và sinx ≠ 0.

Ta có: 

$\eqalign{ & \tan x = {3 \over {\tan x}} \cr & \Leftrightarrow {\tan ^2}x = 3 \cr & \Leftrightarrow \tan x = \pm \sqrt 3 \cr & \Leftrightarrow x = \pm {\pi \over 3} + k\pi ,k \in {\rm Z} \cr}$

Các phương trình này thỏa mãn điều kiện của phương trình nên là nghiệm của phương trình đã cho.