Bài 3.2 trang 35 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11: Giải các phương trình sau...

Giải các phương trình sau

a) $\sin x + 2\sin 3x =  - \sin 5x$

b) $\cos 5x\cos x = \cos 4x$

c) $\sin x\sin 2x\sin 3x = {1 \over 4}\sin 4x$

d) ${\sin ^4}x + {\cos ^4}x =  - {1 \over 2}{\cos ^2}2x$

a)

$\eqalign{ & \sin x + 2\sin 3x = - \sin 5x \cr & \Leftrightarrow \sin 5x + \sin x + 2\sin 3x = 0 \cr & \Leftrightarrow 2\sin 3x\cos 2x + 2\sin 3x = 0 \cr & \Leftrightarrow 2\sin 3x\left( {\cos 2x + 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow 4\sin 3x{\cos ^2}x = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \sin 3x = 0 \hfill \cr \cos x = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ 3x = k\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr x = {\pi \over 2} + k\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = k{\pi \over 3},k \in {\rm Z} \hfill \cr x = {\pi \over 2} + k\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr} \right. \cr}$

b) 

$\eqalign{ & \cos 5x\cos x = \cos 4x \cr & \Leftrightarrow {1 \over 2}\left( {\cos 6x + \cos 4x} \right) = \cos 4x \cr & \Leftrightarrow \cos 6x = \cos 4x \cr & \Leftrightarrow 6x = \pm 4x + k2\pi ,k \in {\rm Z} \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ 2x = k2\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr 10x = k2\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = k\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr x = k{\pi \over 5},k \in {\rm Z} \hfill \cr} \right. \cr}$

Tập {kπ, k ∈ Z} chứa trong tập $\left\{ {l{\pi  \over 5},l \in {\rm Z}} \right\}$ ứng với các giá trị l là bội số của 5, nên nghiệm của phương trình là: $x = k{\pi  \over 5},k \in {\rm Z}$

c) 

$\eqalign{ & \sin x\sin 2x\sin 3x = {1 \over 4}\sin 4x \cr & \Leftrightarrow \sin x\sin 2x\sin 3x = {1 \over 2}\sin 2x\cos 2x \cr & \Leftrightarrow \sin 2x\left( {\cos 2x - 2\sin x\sin 3x} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \sin 2x\cos 4x = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \sin 2x = 0 \hfill \cr \cos 4x = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ 2x = k\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr 4x = {\pi \over 2} + k\pi ,k \in {\rm Z} \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = k{\pi \over 2},k \in {\rm Z} \hfill \cr x = {\pi \over 8} + k{\pi \over 4},k \in {\rm Z} \hfill \cr} \right. \cr}$

d) 

$\eqalign{ & {\sin ^4}x + {\cos ^4}x = - {1 \over 2}{\cos ^2}2x \cr & \Leftrightarrow {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x = - {1 \over 2}{\cos ^2}2x \cr & \Leftrightarrow 1 - {1 \over 2}{\sin ^2}2x + {1 \over 2}{\cos ^2}2x = 0 \cr & \Leftrightarrow 1 + {1 \over 2}\cos 4x = 0 \cr & \Leftrightarrow \cos 4x = - 2 \cr}$

Phương trình vô nghiệm (Vế phải không dương với mọi x trong khi vế trái dương với mọi x nên phương trình đã cho vô nghiệm)