Trang chủ Lớp 11 SBT Toán lớp 11 (sách cũ) Bài 3.4 trang 132 SBT Hình học 11: Cho hình lăng trụ...

Bài 3.4 trang 132 SBT Hình học 11: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng...

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng a. Bài 3.4 trang 132 Sách bài tập (SBT) Hình học 11 - Bài 1. Vectơ trong không gian

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên bằng a. Trên các cạnh bên AA’,BB’,CC’ ta lấy tương ứng các điểm M, N, P sao cho \(AM + BN + CP = a\)

Chứng minh rằng mặt phẳng (MNP) luôn luôn đi qua một điểm cố định.

Gọi G và  G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và tam giác MNP . Ta có:

\(\eqalign{
& \,\,\,\,\overrightarrow {GG’} = \overrightarrow {GA} + \overrightarrow {AM} + \overrightarrow {MG’} \cr
& + \,\,\overrightarrow {GG’} = \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {BN} + \overrightarrow {NG’} \cr
& \,\,\,\,\,\overrightarrow {GG’} = \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {CP} + \overrightarrow {PG’} \cr} \)

Advertisements (Quảng cáo)

Cộng từng vế với vế ta có:

\(3\overrightarrow {GG’}  = \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right) + \left( {\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {BN}  + \overrightarrow {CP} } \right) + \left( {\overrightarrow {MG’}  + \overrightarrow {NG’}  + \overrightarrow {PG’} } \right)\)

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên \(\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \) và G’ là trọng tâm của tam giác MNP nên \(\overrightarrow {MG’}  + \overrightarrow {NG’}  + \overrightarrow {PG’}  = \overrightarrow 0 \).

Do đó: \(3\overrightarrow {GG’}  = \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {BN}  + \overrightarrow {CP} \)

Hay \(\overrightarrow {GG’}  = {1 \over 3}\left( {\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {BN}  + \overrightarrow {CP} } \right) = {1 \over 3}\overrightarrow {AA’} \)

Vì điểm G cố định và \({1 \over 3}\overrightarrow {AA’} \) là vectơ không đổi nên G’ là điểm cố định. Vậy mặt phẳng  (MNP) luôn luôn đi qua điểm G’ cố định.

Bạn đang xem bài tập, chương trình học môn SBT Toán lớp 11 (sách cũ). Vui lòng chọn môn học sách mới cần xem dưới đây:

Advertisements (Quảng cáo)