Bài 3.6 trang 69 SBT Đại số và giải tích 11: Biết tổng các hệ số của ba số hạng đầu trong khai triển đó...

Xác định hệ số của số hạng chứa trong khai triển ${\left( {{x^2} - {2 \over x}} \right)^n}$ nếu biết tổng các hệ số của ba số hạng đầu trong khai triển đó bằng 97.

Ta có:

${\left( {{x^2} - {2 \over x}} \right)^n} = C_n^0{\left( {{x^2}} \right)^n} + C_n^1{\left( {{x^2}} \right)^{n - 1}}.\left( { - {2 \over x}} \right) + C_n^2{\left( {{x^2}} \right)^{n - 2}}.{\left( { - {2 \over x}} \right)^2} + ...$ 

Theo giả thiết, ta có: 

$\eqalign{ & C_n^0 - 2C_n^1 + 4C_n^2 = 97 \cr & \Leftrightarrow 1 - 2n + 2n\left( {n - 1} \right) - 97 = 0 \cr & \Leftrightarrow {n^2} - 2n - 48 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ n = 8 \hfill \cr n = - 6{\rm{ }}\left( {loại} \right) \hfill \cr} \right. \cr}$

Vậy n = 8. Từ đó ta có:

$\eqalign{ & {\left( {{x^2} - {2 \over x}} \right)^8} \cr & = \sum\limits_{k = 0}^8 {C_8^k{{\left( {{x^2}} \right)}^{8 - k}}{{\left( { - {2 \over x}} \right)}^k}} \cr & = \sum\limits_{k = 0}^8 {{{\left( { - 2} \right)}^k}.C_8^k.{x^{16 - 3k}}} \cr}$ 

Như vậy, ta phải có $16 - 3k = 4 \Leftrightarrow k = 4$. 

Do đó hệ số của số hạng chứa x⁴ là ${\left( { - 2} \right)^4}.C_8^4 = 1120$.