Bài 3 trang 20 Toán 11 tập 1 - Cánh diều: Cho $\tan \left( {a + b} \right) = 3, \, \tan \left( {a - b} \right) = 2$. Tính: \(\tan 2a, \, \...

Cho $\tan \left( {a + b} \right) = 3,\,\tan \left( {a - b} \right) = 2$.

Tính: $\tan 2a,\,\,\tan 2b$

Dựa vào công thức cộng và công thức nhân đôi để tính:

$\tan (x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{{1 - \tan x.\tan y}}$

$\tan (x-y) = \frac{{\tan x - y}}{{1 + \tan x.\tan y}}$

Ta có:

$\begin{array}{l}2a = \left( {a + b} \right) + \left( {a - b} \right) \Rightarrow \tan 2a = \tan \left[ {\left( {a + b} \right) + \left( {a - b} \right)} \right]\\2b = \left( {a + b} \right) - \left( {a - b} \right) \Rightarrow \tan 2b = \tan \left[ {\left( {a + b} \right) - \left( {a - b} \right)} \right]\end{array}$

$\begin{array}{l}\tan \left[ {\left( {a + b} \right) + \left( {a - b} \right)} \right] = \frac{{\tan \left( {a + b} \right) + \tan \left( {a - b} \right)}}{{1 - \tan \left( {a + b} \right).\tan \left( {a - b} \right)}} = \frac{{3 + 2}}{{1 - 3.2}} = - 1\\\tan \left[ {\left( {a + b} \right) - \left( {a - b} \right)} \right] = \frac{{\tan \left( {a + b} \right) - \tan \left( {a - b} \right)}}{{1 + \tan \left( {a + b} \right).\tan \left( {a - b} \right)}} = \frac{{3 - 2}}{{1 + 3.2}} = \frac{1}{7}\end{array}$

Vậy $\tan 2a = - 1,\,\,\,\tan 2b = \frac{1}{7}$