Bài 11 trang 62 Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Tìm số hạng đầu ${u_1}$ và công sai $d$ của cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$, biết...

Tìm số hạng đầu ${u_1}$ và công sai $d$ của cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$, biết:

a) $\left\{ \begin{array}{l}5{u_1} + 10{u_5} = 0\\{S_4} = 14\end{array} \right.$;

b) $\left\{ \begin{array}{l}{u_7} + {u_{15}} = 60\\u_4^2 + u_{12}^2 = 1170\end{array} \right.$.

Sử dụng các công thức:

‒ Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng có số hạng đầu ${u_1}$ và công sai $d$ thì số hạng tổng quát là: ${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d,n \ge 2$.

‒ Công thức tính tổng $n$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng có số hạng đầu ${u_1}$ và công sai $d$ là: ${S_n} = \frac{{n\left[ {2{u_1} + \left( {n - 1} \right)d} \right]}}{2}$.

Sau đó đưa về giải hệ phương trình.

a)

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}5{u_1} + 10{u_5} = 0\\{S_4} = 14\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{u_1} + 10\left( {{u_1} + 4{\rm{d}}} \right) = 0\\\frac{{4\left( {2{u_1} + 3{\rm{d}}} \right)}}{2} = 14\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5{u_1} + 10{u_1} + 40{\rm{d}} = 0\\2\left( {2{u_1} + 3{\rm{d}}} \right) = 14\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}15{u_1} + 40{\rm{d}} = 0\\2{u_1} + 3{\rm{d}} = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 8\\d = - 3\end{array} \right.\end{array}$

Vậy cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng đầu ${u_1} = 8$ và công sai $d = - 3$.

b)

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{u_7} + {u_{15}} = 60\\u_4^2 + u_{12}^2 = 1170\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {{u_1} + 6{\rm{d}}} \right) + \left( {{u_1} + 14{\rm{d}}} \right) = 60\\{\left( {{u_1} + 3{\rm{d}}} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 11{\rm{d}}} \right)^2} = 1170\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 6{\rm{d}} + {u_1} + 14{\rm{d}} = 60\\{\left( {{u_1} + 3{\rm{d}}} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 11{\rm{d}}} \right)^2} = 1170\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2{u_1} + 20{\rm{d}} = 60\\{\left( {{u_1} + 3{\rm{d}}} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 11{\rm{d}}} \right)^2} = 1170\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + 10{\rm{d}} = 30\left( 1 \right)\\{\left( {{u_1} + 3{\rm{d}}} \right)^2} + {\left( {{u_1} + 11{\rm{d}}} \right)^2} = 1170\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}$

$\left( 1 \right) \Leftrightarrow {u_1} = 30 - 10{\rm{d}}$ thế vào (2) ta được:

$\begin{array}{l}{\left( {30 - 10{\rm{d}} + 3{\rm{d}}} \right)^2} + {\left( {30 - 10{\rm{d}} + 11{\rm{d}}} \right)^2} = 1170 \Leftrightarrow {\left( {30 - 7{\rm{d}}} \right)^2} + {\left( {30 + {\rm{d}}} \right)^2} = 1170\\ \Leftrightarrow 900 - 420{\rm{d}} + 49{{\rm{d}}^2} + 900 + 60{\rm{d}} + {d^2} = 1170 \Leftrightarrow 50{{\rm{d}}^2} - 360{\rm{d}} + 630 = 0\\ \Leftrightarrow 5{{\rm{d}}^2} - 36{\rm{d}} + 63 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}d = 3\\d = \frac{{21}}{5}\end{array} \right.\end{array}$

Với $d = 3 \Leftrightarrow {u_1} = 30 - 10.3 = 0$.

Với $d = \frac{{21}}{5} \Leftrightarrow {u_1} = 30 - 10.\frac{{21}}{5} = - 12$.

Vậy có hai cấp số cộng $\left( {{u_n}} \right)$ thoả mãn:

‒ Cấp số cộng có số hạng đầu ${u_1} = 0$ và công sai $d = 3$.

‒ Cấp số cộng có số hạng đầu ${u_1} = - 12$ và công sai $d = \frac{{21}}{5}$.