Bài 9 trang 62 Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Xét tính tăng, giảm của dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{{{3^n} - 1}}{{{2^n}}}$. Bước 1...

Xét tính tăng, giảm của dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{{{3^n} - 1}}{{{2^n}}}$.

Bước 1: Tìm ${u_{n + 1}}$.

Bước 2: Xét hiệu ${u_{n + 1}} - {u_n}$.

Bước 3: Kết luận:

– Nếu ${u_{n + 1}} - {u_n} > 0$ thì ${u_{n + 1}} > {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}$, vậy dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số tăng.

– Nếu ${u_{n + 1}} - {u_n} < 0$ thì ${u_{n + 1}} < {u_n},\forall n \in {\mathbb{N}^*}$, vậy dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số giảm.

Ta có: ${u_{n + 1}} = \frac{{{3^{n + 1}} - 1}}{{{2^{n + 1}}}} = \frac{{{{3.3}^n} - 1}}{{{{2.2}^n}}}$

Xét hiệu:

$\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{{{3.3}^n} - 1}}{{{{2.2}^n}}} - \frac{{{3^n} - 1}}{{{2^n}}} = \frac{{\left( {{{3.3}^n} - 1} \right) - 2.\left( {{3^n} - 1} \right)}}{{{{2.2}^n}}}\\ = \frac{{{{3.3}^n} - 1 - {{2.3}^n} + 2}}{{{{2.2}^n}}} = \frac{{{3^n} + 1}}{{{2^{n + 1}}}} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\\\end{array}$

Vậy ${u_{n + 1}} - {u_n} > 0 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} > {u_n}$. Vậy dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số tăng.