Bài 12 trang 86 Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2} - 25}}{{x - 5}}}&{khi\, \, x \ne 5}\\a&{khi\, \, x =...

Cho hàm số $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{x^2} - 25}}{{x - 5}}}&{khi\,\,x \ne 5}\\a&{khi\,\,x = 5}\end{array}} \right.$.

Tìm $a$ để hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số trên từng khoảng xác định.

Bước 2: Tính $f\left( {{x_0}} \right)$.

Bước 3: Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right)$.

Bước 4: Giải phương trình $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$ để tìm $a$.

Trên các khoảng $\left( { - \infty ;5} \right)$ và $\left( {5; + \infty } \right)$, $f\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 25}}{{x - 5}}$ là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên từng khoảng $\left( { - \infty ;5} \right)$ và $\left( {5; + \infty } \right)$.

Ta có: $f\left( 5 \right) = a$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{{x^2} - 25}}{{x - 5}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \frac{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}}{{x - 5}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \left( {x + 5} \right) = 5 + 5 = 10$

Để hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thì hàm số $y = f\left( x \right)$ phải liên tục tại điểm ${x_0} = 5$. Khi đó: $\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} f\left( x \right) = f\left( 5 \right) \Leftrightarrow a = 10$.

Vậy với $a = 10$ thì hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.