Bài 13 trang 86 Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Trong một phòng thí nghiệm, nhiệt độ trong tủ sấy được điều khiển tăng từ 10°C...

Trong một phòng thí nghiệm, nhiệt độ trong tủ sấy được điều khiển tăng từ 10°C, mỗi phút tăng 2°C trong 60 phút, sau đó giảm mỗi phút 3°C trong 40 phút. Hàm số biểu thị nhiệt độ (tính theo °C) trong theo thời gian $t$ (tính theo phút) có dạng

$T\left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{10 + 2t}&{khi\,\,0 \le t \le 60}\\{k - 3t}&{khi\,\,60 < t \le 100}\end{array}} \right.$ ($k$ là hằng số).

Biết rằng, $T\left( t \right)$ là hàm liên tục trên tập xác định. Tìm giá trị của $k$.

Bước 1: Tìm tập xác định.

Bước 2: Tính $T\left( {60} \right)$.

Bước 3: Tính $\mathop {\lim }\limits_{t \to {{60}^ + }} T\left( t \right),\mathop {\lim }\limits_{t \to {{60}^ - }} T\left( t \right)$.

Bước 4: Giải phương trình $\mathop {\lim }\limits_{t \to {{60}^ + }} T\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {{60}^ - }} T\left( t \right) = T\left( {60} \right)$ để tìm $k$.

Hàm số $T\left( t \right)$ có tập xác định là $\left[ {0;100} \right]$.

Ta có: $T\left( {60} \right) = 10 + 2.60 = 130$

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{t \to {{60}^ + }} T\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {{60}^ + }} \left( {k - 3t} \right) = k - 3.60 = k - 180\\\mathop {\lim }\limits_{t \to {{60}^ - }} T\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {{60}^ - }} \left( {10 + 2t} \right) = 10 + 2.60 = 130\end{array}$

Để hàm số liên tục trên tập xác định thì hàm số phải liên tục tại điểm ${t_0} = 60$

Khi đó: $\mathop {\lim }\limits_{t \to {{60}^ + }} T\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{t \to {{60}^ - }} T\left( t \right) = T\left( {60} \right) \Leftrightarrow k - 180 = 130 \Leftrightarrow k = 310$

Vậy với $k = 310$ thì hàm số $T\left( t \right)$ liên tục trên tập xác định.