Bài 4 trang 42 Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Nghiệm âm lớn nhất của phương trình lượng giác $cos2x = cos\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)$ là: \(\begin{array}{l}A...

Nghiệm âm lớn nhất của phương trình lượng giác $cos2x = cos\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)$ là:

$\begin{array}{l}A. - \frac{\pi }{9}\\B. - \frac{{5\pi }}{3}\\C. - \frac{{7\pi }}{9}\\D. - \frac{{13\pi }}{9}\end{array}$

Phương trình ${\rm{cosx}} = m$,

• Nếu $\left| m \right| \le 1$ thì phương trình vô nghiệm.
• Nếu $\left| m \right| \le 1$ thì phương trình có nghiệm:

Khi $\left| m \right| \le 1$sẽ tồn tại duy nhất $\alpha \in \left[ {0;\pi } \right]$ thoả mãn ${\rm{cos}}\alpha = m$. Khi đó:

${\rm{cosx}} = m \Leftrightarrow {\rm{cosx}} = {\rm{cos}}\alpha$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \alpha + k2\pi \\x = - \alpha + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$

Ta có:

$\begin{array}{l}cos2x = cos\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = x + \frac{\pi }{3} + k2\pi \\2x = - x - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{9} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}$

Với $x = \frac{\pi }{3} + k2\pi$,$k \in \mathbb{Z}$ đạt giá trị âm lớn nhất khi k = – 1, khi đó $x = \frac{\pi }{3} - 2\pi = \frac{{ - 5\pi }}{3}$

Với $x = - \frac{\pi }{9} + k\frac{{2\pi }}{3}$,$k \in \mathbb{Z}$ đạt giá trị âm lớn nhất khi k = 0, khi đó $x = x = - \frac{\pi }{9} + 0.\frac{{2\pi }}{3} = - \frac{\pi }{9}$

Vậy nghiệm âm lớn nhất của phương trình đã cho là $- \frac{\pi }{9}$. Đáp án: A