Bài 6 trang 50 Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo: Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{{na + 2}}{{n + 1}}$...

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{{na + 2}}{{n + 1}}$. Tìm giá trị của $a$ để:

a) $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số tăng;

b) $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số giảm.

Bước 1: Tìm ${u_{n + 1}}$.

Bước 2: Xét hiệu ${u_{n + 1}} - {u_n}$.

Bước 3:

– Để $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số tăng thì ta tìm $a$ sao cho ${u_{n + 1}} - {u_n} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

– Để $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số giảm thì ta tìm $a$ sao cho ${u_{n + 1}} - {u_n} < 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

Ta có: ${u_{n + 1}} = \frac{{\left( {n + 1} \right)a + 2}}{{\left( {n + 1} \right) + 1}} = \frac{{na + a + 2}}{{n + 1 + 1}} = \frac{{na + a + 2}}{{n + 2}}$

Xét hiệu:

$\begin{array}{l}{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{na + a + 2}}{{n + 2}} - \frac{{na + 2}}{{n + 1}} = \frac{{\left( {na + a + 2} \right)\left( {n + 1} \right) - \left( {na + 2} \right)\left( {n + 2} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\\ = \frac{{\left( {{n^2}a + na + 2n + na + a + 2} \right) - \left( {{n^2}a + 2n + 2na + 4} \right)}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\\ = \frac{{{n^2}a + na + 2n + na + a + 2 - {n^2}a - 2n - 2na - 4}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{a - 2}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}}\end{array}$

a) Để $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số tăng thì:

${u_{n + 1}} - {u_n} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*} \Leftrightarrow \frac{{a - 2}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} > 0 \Leftrightarrow a - 2 > 0 \Leftrightarrow a > 2$

b) Để $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy số giảm thì:

${u_{n + 1}} - {u_n} < 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*} \Leftrightarrow \frac{{a - 2}}{{\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} < 0 \Leftrightarrow a - 2 < 0 \Leftrightarrow a < 2$