Giải mục 1 trang 57, 58, 59 Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo: Có nhận xét gì về tam giác $DEF$? Từ đó suy ra góc giữa $d$ và $c$...

Hoạt động 1

Thả một dây dọi $AO$ chạm sàn nhà tại điểm $O$. Kẻ một đường thẳng $xOy$ bất kì trên sàn nhà.

a) Dùng êke để kiểm tra xem $AO$ có vuông góc với $xOy$ không.

b) Nêu nhận xét về góc giữa dây dọi và một đường thẳng bất kì trong sàn nhà.

Quan sát hình ảnh, thực hành kiểm tra.

a) $AO$ vuông góc với $xOy$.

b) Góc giữa dây dọi và một đường thẳng bất kì trong sàn nhà là góc vuông.

Hoạt động 2

Cho đường thẳng $d$ vuông góc với hai đường thẳng 2 cắt nhau $a$ và $b$ trong mặt phẳng $\left( P \right)$. Xét một đường thẳng $c$ bất kì trong $\left( P \right)$ ($c$ không song song với $a$ và $b$). Gọi $O$ là giao điểm của $d$ và $\left( P \right)$. Trong $\left( P \right)$ vẽ qua $O$ ba đường thẳng $a’,b’,c’$ lần lượt song song với $a,b,c$. Vẽ một đường thẳng cắt $a’,b’,c’$ lần lượt tại $B,C,D$. Trên $d$ lấy hai điểm $E,F$ sao cho $O$ là trung điểm của $EF$ (Hình 4).

a) Giải thích tại sao hai tam giác $CEB$ và $CFB$ bằng nhau.

b) Có nhận xét gì về tam giác $DEF$? Từ đó suy ra góc giữa $d$ và $c$.

Sử dụng tính chất trung tuyến của đoạn thẳng.

a) Ta có:

$\left. \begin{array}{l}d \bot a\\a’\parallel a\end{array} \right\} \Rightarrow d \bot a’ \Rightarrow EF \bot OB$

Mà $O$ là trung điểm của $EF$ $\Rightarrow BE = BF$

$\left. \begin{array}{l}d \bot b\\b’\parallel b\end{array} \right\} \Rightarrow d \bot b’ \Rightarrow EF \bot OC$

Mà $O$ là trung điểm của $EF$ $\Rightarrow CE = CF$

Xét $\Delta CEB$ và $\Delta CFB$ có:

$\left. \begin{array}{l}BE = BF\\CE = CF\\BC:chung\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta CEB = \Delta CFB\left( {c.c.c} \right)$

b) $\Delta CEB = \Delta CFB \Rightarrow DE = DF$

$\Rightarrow D$ nằm trên đường trung trực của $EF \Rightarrow OD \bot EF \Rightarrow c’ \bot d$

Lại có $c\parallel c’$

Vậy $c \bot d \Rightarrow \left( {c,d} \right) = {90^ \circ }$.

Hoạt động 3

a) Trong không gian, cho điểm $O$ và đường thẳng $d$. Gọi $a,b$ là hai đường thẳng phân biệt đi qua $O$ và vuông góc với $d$ (Hình 6a). Có nhận xét gì về vị trí tương đối giữa đường thẳng $d$ và $mp\left( {a,b} \right)$?

b) Trong không gian, cho điểm $O$ và mặt phẳng $\left( P \right)$. Gọi $\left( Q \right)$ và $\left( R \right)$ là hai mặt phẳng đi qua $O$ và lần lượt vuông góc với hai đường cắt nhau $a,b$ nằm trong $\left( P \right)$ (Hình 6b). Có nhận xét gì về vị trí giữa mặt phẳng $\left( P \right)$ và giao tuyến $d$ của $\left( Q \right),\left( R \right)$?

a) Sử dụng định lí 1: Nếu đường thẳng $d$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $a$ và $b$ cùng nằm trong mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ thì $d \bot \left( \alpha \right)$.

b) Sử dụng tính chất: đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ thì nó vuông góc với mọi đường thẳng $a$ nằm trong $\left( \alpha \right)$.

a) Ta có:

$\left. \begin{array}{l}d \bot a\\d \bot b\\a \cap b = \left\{ O \right\}\end{array} \right\} \Rightarrow d \bot mp\left( {a,b} \right)$.

b) Ta có:

$\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}a \bot \left( Q \right)\\d \subset \left( Q \right)\end{array} \right\} \Rightarrow a \bot d\\\left. \begin{array}{l}b \bot \left( R \right)\\d \subset \left( R \right)\end{array} \right\} \Rightarrow b \bot d\end{array}$

Mà $a,b$ cắt nhau nằm trong $\left( P \right)$

$\Rightarrow d \bot \left( P \right)$

Thực hành 1

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông, $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD,SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$. Gọi $H,I,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm $A$ trên các cạnh $SB,SC,SD$. Chứng minh rằng:

a) $CB \bot \left( {SAB} \right)$ và $CD \bot \left( {SAD} \right)$;

b) $HK \bot AI$.

‒ Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: chứng minh đường thẳng đó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng.

‒ Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc:

Cách 1: Chứng minh góc giữa chúng bằng ${90^ \circ }$.

Cách 2: Chứng minh đường thẳng này vuông góc với một mặt phẳng chứa đường thẳng kia.

a) Ta có:

$SA \bot \left( {ABC{\rm{D}}} \right) \Rightarrow SA \bot CB$

$ABC{\rm{D}}$ là hình vuông $\Rightarrow AB \bot CB$

$\Rightarrow CB \bot \left( {SAB} \right)$

$SA \bot \left( {ABC{\rm{D}}} \right) \Rightarrow SA \bot CD$

$ABC{\rm{D}}$ là hình vuông $\Rightarrow AD \bot CD$

$\Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right)$

b) Ta có:

$\left. \begin{array}{l}CB \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow CB \bot AH\\AH \bot SB\end{array} \right\} \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AH \bot SC$

$\left. \begin{array}{l}CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot AK\\AK \bot SD\end{array} \right\} \Rightarrow AK \bot \left( {SC{\rm{D}}} \right) \Rightarrow AK \bot SC$

$\Rightarrow SC \bot \left( {AHK} \right) \Rightarrow SC \bot HK$

$\begin{array}{l}\Delta SAB = \Delta SA{\rm{D}}\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow SH = SK,SB = S{\rm{D}}\\\left. \begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{SH}}{{SB}} = \frac{{SK}}{{S{\rm{D}}}} \Rightarrow HK\parallel B{\rm{D}}\\SA \bot \left( {ABC{\rm{D}}} \right) \Rightarrow SA \bot B{\rm{D}}\end{array} \right\} \Rightarrow SA \bot HK\end{array}$

$\left. \begin{array}{l}SC \bot HK\\SA \bot HK\end{array} \right\} \Rightarrow HK \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow HK \bot AI$

Vận dụng 1

Làm thể nào để dựng cột chống một biển báo vuông góc với mặt đất?

Sử dụng định lí 1: Nếu đường thẳng $d$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $a$ và $b$ cùng nằm trong mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ thì $d \bot \left( \alpha \right)$.

Vì chân của cột chống biển báo là hai đường thẳng cắt nhau nên ta dựng cột chống vuông góc với hai chân của cột chống thì cột chống của biển báo vuông góc với mặt đất.