Giải mục 3 trang 62, 63, 64 Toán 11 tập 2 - Chân trời sáng tạo: Hai người thợ trong hình đang thả dây dọi từ một điểm $M$ trên trần nhà và đánh dấu điểm...

Hoạt động 5

Hai người thợ trong hình đang thả dây dọi từ một điểm $M$ trên trần nhà và đánh dấu điểm $M’$ nơi đầu nhọn quả dọi chạm sàn. Có nhận xét gì về đường thẳng $MM’$ với mặt sàn?

Quan sát hình ảnh và trả lời câu hỏi.

Đường thẳng $MM’$ vuông góc với mặt sàn.

Thực hành 4

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA \bot \left( {ABCD} \right)$ và đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Xác định hình chiếu vuông góc của điểm $C$, đường thẳng $CD$ và tam giác $SC{\rm{D}}$ trên mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$.

Sử dụng phép chiếu vuông góc.

• Ta có:

$\left. \begin{array}{l}SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC\\AB \bot BC\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)$

Vậy $B$ là hình chiếu vuông góc của điểm $C$ trên mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$.

• Ta có:

$\left. \begin{array}{l}SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot A{\rm{D}}\\AB \bot A{\rm{D}}\end{array} \right\} \Rightarrow A{\rm{D}} \bot \left( {SAB} \right)$

Vậy $A$ là hình chiếu vuông góc của điểm $D$ trên mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$.

Lại có $B$ là hình chiếu vuông góc của điểm $C$ trên mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$.

Vậy đường thẳng $AB$ là hình chiếu vuông góc của đường thẳng $CD$ trên mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$.

• Ta có:

$A$ là hình chiếu vuông góc của điểm $D$ trên mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$.

$B$ là hình chiếu vuông góc của điểm $C$ trên mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$.

$S \in \left( {SAB} \right)$

Vậy tam giác $SAB$ là hình chiếu vuông góc của tam giác $SCD$ trên mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$.

Hoạt động 6

Cho đường thẳng $a$ nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$ và $b$ là đường thẳng không thuộc $\left( P \right)$ và không vuông góc với $\left( P \right)$. Lấy hai điểm $A,B$ trên $b$ và gọi $A’,B’$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ và $B$ trên $\left( P \right)$.

a) Xác định hình chiếu $b’$ của $b$ trên $\left( P \right)$.

b) Cho $a$ vuông góc với $b$, nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa:

i) đường thẳng $a$ và $mp\left( {b,b’} \right)$;

ii) hai đường thẳng $a$ và $b’$.

c) Cho $a$ vuông góc với $b’$, nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa:

i) đường thẳng $a$ và $mp\left( {b,b’} \right)$;

ii) giữa hai đường thẳng $a$ và $b$.

Sử dụng định lí: Nếu đường thẳng $d$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $a$ và $b$ cùng nằm trong mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ thì $d \bot \left( \alpha \right)$.

a) Ta có: $AA’ \bot \left( P \right),BB’ \bot \left( P \right),A,B \in b$

Vậy hình chiếu vuông góc của đường thẳng $b$ trên mặt phẳng $\left( P \right)$ là đường thẳng $A’B’$.

Vậy $b’ \equiv A’B’$.

b) Ta có:

$\left. \begin{array}{l}AA’ \bot \left( P \right) \Rightarrow AA’ \bot a\\a \bot b\end{array} \right\} \Rightarrow a \bot mp\left( {b,b’} \right)$

$\left. \begin{array}{l}a \bot mp\left( {b,b’} \right)\\b’ \subset mp\left( {b,b’} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow a \bot b’$

c) Ta có:

$\left. \begin{array}{l}AA’ \bot \left( P \right) \Rightarrow AA’ \bot a\\a \bot b’\end{array} \right\} \Rightarrow a \bot mp\left( {b,b’} \right)$

$\left. \begin{array}{l}a \bot mp\left( {b,b’} \right)\\b \subset mp\left( {b,b’} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow a \bot b$

Thực hành 5

Cho tứ diện $OABC$ có $OA,OB,OC$ đôi một vuông góc. Vẽ đường thẳng qua $O$ và vuông góc với $\left( {ABC} \right)$ tại $H$. Chứng minh $AH \bot BC$.

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc:

Cách 1: Chứng minh góc giữa chúng bằng ${90^ \circ }$.

Cách 2: Chứng minh đường thẳng này vuông góc với một mặt phẳng chứa đường thẳng kia.

$\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}OA \bot OB\\OA \bot OC\end{array} \right\} \Rightarrow OA \bot \left( {OBC} \right) \Rightarrow OA \bot BC\\OH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow OH \bot BC\\ \Rightarrow BC \bot \left( {OAH} \right) \Rightarrow BC \bot AH\end{array}$

Vận dụng 3

Nếu cách tìm hình chiếu vuông góc của một đoạn thẳng $AB$ trên trần nhà xuống nền nhà bằng hai dây dọi.

Sử dụng phép chiếu vuông góc.

Thả dây dọi từ điểm $A$ và đánh dấu điểm $A’$ nơi đầu quả dọi chạm sàn.

Thả dây dọi từ điểm $B$ và đánh dấu điểm $B’$ nơi đầu quả dọi chạm sàn.

Khi đó đoạn thẳng $A’B’$ là hình chiếu vuông góc của một đoạn thẳng $AB$ trên trần nhà xuống nền nhà.