Bài 24 trang 107 Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức: Tính ${u_2}, {u_3}$ và ${u_n}$ theo $n$...

Một công ty đề xuất kí hợp đồng với một người lao động theo một trong hai loại hợp đồng sau:

Hợp đồng A: Lương 200 triệu đồng cho năm đầu tiên và sau mỗi năm tăng thêm 10 triệu đồng.

Hợp đồng B: Lương 180 triệu đồng cho năm đầu tiên và sau mối năm tăng thêm $5\%$. Kí hiệu ${u_n},{v_n}$ tương ứng là lương nhận được (triệu đồng) của năm thứ $n$ ứng với các hợp đồng A và B.

a) Tính ${u_2},{u_3}$ và ${u_n}$ theo $n$. Nếu người lao động đó làm việc cho công ty trong thời gian 5 năm theo hợp đồng A thì tổng số tiền lương người đó nhận được là bao nhiêu?

b) Tính ${v_2},{v_3}$ và ${v_n}$ theo $n$. Nếu người lao động đó làm việc cho công ty trong thời gian 5 năm theo hợp đồng B thì tổng số tiền lương người đó nhận được là bao nhiêu?

c) Sau bao nhiêu năm thì lương hằng năm theo hợp đồng B vượt lương hằng năm theo hợp đồng A?

- Số hạng tổng quát của cấp số nhân ${u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}$

- Tổng cấp số nhân ${S_n} = {u_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}$

a) Lương năm thứ 2 theo hợp đồng A là ${u_2} = {u_1} + 10 = 210$ triệu đồng.

Lương năm thứ 3 theo hợp đồng A là ${u_3} = {u_2} + 10 = 220$ triệu đồng.

Ta thấy $\left( {{u_n}} \right)$ là một cấp số cộng với số hạng đầu ${u_1} = 200$ và công sai $d = 10$ nên

${u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 200 + 10\left( {n - 1} \right) = 10n + 190$

Nếu người lao động đó làm việc cho công ty trong thời gian 5 năm theo hợp đồng A thì tổng số tiền lương người đó nhận được là

${S_5}\left( A \right) = {u_1} + {u_2} + ... + {u_5} = 5{u_1} + \frac{{5.4}}{2}.d = 5.200 + \frac{{5.4}}{2}.10 = 1100$ triệu đồng.

b) Lương năm thứ 2 theo hợp đồng B là

${v_2} = {v_1} + {v_1}.5\% = {v_1}.1,05 = 180.1,05 = 189$ triệu đồng.

Lương năm thứ 3 theo hợp đồng B là

${v_3} = {v_2} + {v_2}.5\% = {v_2}.1,05 = 189.1,05 = 198,45$ triệu đồng.

Ta thấy $\left( {{v_n}} \right)$ là một cấp số nhân với số hạng đầu ${v_1} = 180$ và công bội $q = 1,05$ nên

${v_n} = {v_1}.{q^{n - 1}} = 180.1,{05^{n - 1}}$

Nếu người lao động đó làm việc cho công ty trong thời gian 5 năm theo hợp đồng B thì tổng số tiền lương người đó nhận được là

${S_5}\left( B \right) = {v_1} + {v_2} + ... + {v_5} = {v_1}.\frac{{{q^5} - 1}}{{q - 1}} = 180.\frac{{1,{{05}^5} - 1}}{{1,05 - 1}} \approx 994,6$ triệu đồng

c) Lương hằng năm theo hợp đồng B vượt hợp đồng A nếu

${v_n} > {u_n} \Leftrightarrow 180.1,{05^{n - 1}} > 10n + 190 \Leftrightarrow 1801,{05^{n - 1}} > n + 19$

Ta thấy n = 13 là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình này. Vậy từ năm thứ 13 trở đi thì lương hằng năm theo hợp đồng B sẽ cao hơn lương hằng năm theo hợp đồng A.