Một công ty đề xuất kí hợp đồng với một người lao động theo một trong hai loại hợp đồng sau:
Hợp đồng A: Lương 200 triệu đồng cho năm đầu tiên và sau mỗi năm tăng thêm 10 triệu đồng.
Hợp đồng B: Lương 180 triệu đồng cho năm đầu tiên và sau mối năm tăng thêm \(5\% \). Kí hiệu \({u_n},{v_n}\) tương ứng là lương nhận được (triệu đồng) của năm thứ \(n\) ứng với các hợp đồng A và B.
a) Tính \({u_2},{u_3}\) và \({u_n}\) theo \(n\). Nếu người lao động đó làm việc cho công ty trong thời gian 5 năm theo hợp đồng A thì tổng số tiền lương người đó nhận được là bao nhiêu?
b) Tính \({v_2},{v_3}\) và \({v_n}\) theo \(n\). Nếu người lao động đó làm việc cho công ty trong thời gian 5 năm theo hợp đồng B thì tổng số tiền lương người đó nhận được là bao nhiêu?
c) Sau bao nhiêu năm thì lương hằng năm theo hợp đồng B vượt lương hằng năm theo hợp đồng A?
- Số hạng tổng quát của cấp số nhân \({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}\)
- Tổng cấp số nhân \({S_n} = {u_1}.\frac{{1 - {q^n}}}{{1 - q}}\)
a) Lương năm thứ 2 theo hợp đồng A là \({u_2} = {u_1} + 10 = 210\) triệu đồng.
Lương năm thứ 3 theo hợp đồng A là \({u_3} = {u_2} + 10 = 220\) triệu đồng.
Ta thấy \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng với số hạng đầu \({u_1} = 200\) và công sai \(d = 10\) nên
\({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 200 + 10\left( {n - 1} \right) = 10n + 190\)
Nếu người lao động đó làm việc cho công ty trong thời gian 5 năm theo hợp đồng A thì tổng số tiền lương người đó nhận được là
\({S_5}\left( A \right) = {u_1} + {u_2} + ... + {u_5} = 5{u_1} + \frac{{5.4}}{2}.d = 5.200 + \frac{{5.4}}{2}.10 = 1100\) triệu đồng.
b) Lương năm thứ 2 theo hợp đồng B là
\({v_2} = {v_1} + {v_1}.5\% = {v_1}.1,05 = 180.1,05 = 189\) triệu đồng.
Lương năm thứ 3 theo hợp đồng B là
\({v_3} = {v_2} + {v_2}.5\% = {v_2}.1,05 = 189.1,05 = 198,45\) triệu đồng.
Ta thấy \(\left( {{v_n}} \right)\) là một cấp số nhân với số hạng đầu \({v_1} = 180\) và công bội \(q = 1,05\) nên
\({v_n} = {v_1}.{q^{n - 1}} = 180.1,{05^{n - 1}}\)
Nếu người lao động đó làm việc cho công ty trong thời gian 5 năm theo hợp đồng B thì tổng số tiền lương người đó nhận được là
\({S_5}\left( B \right) = {v_1} + {v_2} + ... + {v_5} = {v_1}.\frac{{{q^5} - 1}}{{q - 1}} = 180.\frac{{1,{{05}^5} - 1}}{{1,05 - 1}} \approx 994,6\) triệu đồng
c) Lương hằng năm theo hợp đồng B vượt hợp đồng A nếu
\({v_n} > {u_n} \Leftrightarrow 180.1,{05^{n - 1}} > 10n + 190 \Leftrightarrow 1801,{05^{n - 1}} > n + 19\)
Ta thấy n = 13 là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình này. Vậy từ năm thứ 13 trở đi thì lương hằng năm theo hợp đồng B sẽ cao hơn lương hằng năm theo hợp đồng A.