Bài 26 trang 108 Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức: Tìm các giá trị của tham số $m$ để...

Tìm các giá trị của tham số $m$ để:

a) Hàm số $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{x + 1}}}&{{\rm{ khi }}x \ne - 1}\\{{m^2}}&{{\rm{ khi }}x = - 1}\end{array}} \right.$ liên tục tại điểm $x = - 1$;

b) Hàm số $g(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi }}x \le 1}&{\rm{ }}\\{\frac{{{x^3} - {x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}}{\rm{ }}\,{\rm{khi }}x > 1}&{}\end{array}} \right.$liên tục trên $\mathbb{R}$.

Hàm số $y = f\left( x \right)$ được gọi là liên tục tại ${x_0}$ nếu $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)$

a) Ta có

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \left( {x + 3} \right) = 2\\f\left( { - 1} \right) = {m^2}\end{array}$

Để hàm số liên tục tại x = – 1 $\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} f\left( x \right) = f\left( { - 1} \right) \Leftrightarrow {m^2} = 2 \Leftrightarrow m = \pm \sqrt 2$

Vậy $m \in \left\{ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right\}$ thì hàm số $f\left( x \right)$ liên tục tại điểm $x = - 1$.

b)

• Với $x\; \in \;\left( {-\infty ;1} \right)$ có $g\left( x \right) = 2x + m$ liên tục với mọi $x\; \in \;\left( {-\infty ;1} \right)$
• Với $x\; \in \;\left( {1; + \infty } \right)$ có $g\left( x \right) = \frac{{{x^3} - {x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}}$ liên tục với mọi $x\; \in \;\left( {1; + \infty } \right)$
• Tại x = 1 có

$\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^3} - {x^2} + 2x - 2}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + 2} \right)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {{x^2} + 2} \right) = 3\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {2x + m} \right) = 2 + m\\g\left( 1 \right) = 2 + m\end{array}$

Do đó để hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi hàm số liên tục tại x = 1

$\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} g\left( x \right) = g\left( 1 \right) \Leftrightarrow 2 + m = 3 \Leftrightarrow m = 1$

Vậy m = 1 thì hàm số $g\left( x \right)$ liên trục trên $\mathbb{R}$