Bài 27 trang 108 Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức: Giải các phương trình và bất phương trình sau...

Giải các phương trình và bất phương trình sau:

a) ${3^{\frac{1}{x}}} = 4$

b) ${2^{{x^2} - 3x}} = 4$;

c) ${\log _4}(x + 1) + {\log _4}(x - 3) = 3$;

d) ${\left( {\frac{1}{5}} \right)^{{x^2} - 2x}} \ge \frac{1}{{125}}$

e) ${(2 - \sqrt 3 )^x} \le {(2 + \sqrt 3 )^{x + 2}}$

f) $\log \left( {3{x^2} + 1} \right) > \log (4x)$.

Tìm điều kiện của các phương trình sau đó giải

a) ${3^{\frac{1}{x}}} = 4$ (ĐK: $x \ne 0$)

$\Leftrightarrow \frac{1}{x} = {\log _3}4 \Leftrightarrow x = {\log _4}3\left( {TM} \right)$

Vậy phương trình có tập nghiệm $x = {\log _4}3$

b) ${2^{{x^2} - 3x}} = 4$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {2^{{x^2} - 3x}} = {2^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} - 3x = 2\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{3 + \sqrt {17} }}{2}\\x = \frac{{3 - \sqrt {17} }}{2}\end{array} \right.\end{array}$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = \left\{ {\frac{{3 - \sqrt {17} }}{2};\frac{{3 + \sqrt {17} }}{2}} \right\}$

c) ${\log _4}(x + 1) + {\log _4}(x - 3) = 3$ (ĐK: x > 3)

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\log _4}\left[ {\left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right)} \right] = 3\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 3} \right) = {4^3}\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 64\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 67 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 + 2\sqrt {17} (TM) \\x = 1 - 2\sqrt {17} (L) \end{array} \right.\end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình là $x = 1 + 2\sqrt {17}$

d) ${\left( {\frac{1}{5}} \right)^{{x^2} - 2x}} \ge \frac{1}{{125}}$

$\Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{5}} \right)^{{x^2} - 2x}} \ge {\left( {\frac{1}{5}} \right)^3} \\\Leftrightarrow {x^2} - 2x \le 3 \\\Leftrightarrow - 1 \le x \le 3$

Vậy phương trình có tập nghiệm $S = \left[ { - 1;3} \right]$

e) ${(2 - \sqrt 3 )^x} \le {(2 + \sqrt 3 )^{x + 2}}$

$\Leftrightarrow {\left( {2 + \sqrt 3 } \right)^{ - x}} \le {(2 + \sqrt 3 )^{x + 2}} \\\Leftrightarrow - x \le x + 2 \\\Leftrightarrow x \ge - 1$

Vậy bất phương trình có tập nghiệm $S = \left[ { - 1; + \infty } \right)$

f) $\log \left( {3{x^2} + 1} \right) > \log (4x)$ (ĐK: x > 0)

$\Leftrightarrow 3{x^2} + 1 > 4x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < \frac{1}{3}\\x > 1\end{array} \right.$

Kết hợp với điều kiện, ta có:

$\left[ \begin{array}{l} 01\end{array} \right.$

Vậy bất phương trình có tập nghiệm $S = \left( {0 ;\frac{1}{3}} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$