Bài 4.24 trang 94 Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức: Cho hình tứ diện SABC. Trên cạnh SA lấy các điểm ${A_1}, {A_2}$sao cho \(A{A_1} = {A_1}{A_2} = {A_2}S...

Cho hình tứ diện SABC. Trên cạnh SA lấy các điểm ${A_1},{A_2}$sao cho $A{A_1} = {A_1}{A_2} = {A_2}S.$ Gọi (P) và (Q) là hai mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABC) và lần lượt đi qua ${A_1},{A_2}.$ Mặt phẳng (P) cắt các cạnh SB, SC lần lượt tại ${B_1},{C_1}.$ Mặt phẳng (Q) cắt các canhj SB, SC lần lượt tại ${B_2},{C_2}.$ Chứng minh $B{B_1} = {B_1}{B_2} = {B_2}S$ và $C{C_1} = {C_1}{C_2} = {C_2}S$.

Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến phân biệt bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Áp dụng định lí Thales cho ba mặt phẳng (ABC), (P), (Q) và hai cát tuyến SA, SC ta có:

$\frac{{{C_2}S}}{{{A_2}S}} = \frac{{{C_1}{C_2}}}{{{A_1}{A_{2\;}}}} = \frac{{C{C_1}}}{{A{A_1}}}$ mà $A{A_1} = {A_1}{A_2} = {A_2}S$.

Suy ra $C{C_1} = {C_1}{C_2} = {C_2}S$. Áp dụng định lí Thales cho ba mặt phẳng (ABC), (P), (Q) và hai cát tuyến SA, SB ta có:

$\frac{{{B_2}S}}{{{A_2}S}} = \frac{{{B_1}{B_2}}}{{{A_1}{A_2}}} = \frac{{B{B_1}}}{{A{A_1}}}$ mà $A{A_1} = A{A_2} = {A_2}S$.

Suy ra $B{B_1} = {B_1}{B_2} = {B_2}S$.