Giải mục 1 trang 76, 77 Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức: Hai biến cố A và B trong HĐ1 độc lập hay không độc lập? Tại sao?...

Hoạt động 1

Có hai hộp đựng các quả bóng có cùng kích thước và khối lượng. Hộp I có 6 quả màu trắng và 4 quả màu đen. Hộp II có 1 quả màu trắng và 7 quả màu đen. Bạn Long lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp I, bạn Hải lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp II. Xét các biến cố sau:

A: “Bạn Long lấy được quả bóng màu trắng”;

B: “Bạn Hải lấy được quả bóng màu đen”.

a) Tính P(A), P(B) và P(AB).

b) So sánh P(AB) và P(A).P(B).

- $P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}}$

- Cho A và B là hai biến cố. Biến cố: “Cả A và B đều xảy ra” được gọi là biến cố giao của A và B, kí hiệu AB

a) $P\left( A \right) = \frac{6}{{10}} = \frac{3}{5};P\left( B \right) = \frac{7}{8}$

Không gian mẫu là tập hợp số cách Bạn Long lấy được một quả bóng từ hộp I và Bạn Hải lấy một quả bóng từ hộp II do đó $n\left( \Omega \right) = 10.8 = 80$

C: “Bạn Long lấy được quả màu trắng và bạn Hải lấy được quả màu đen”

Công đoạn 1: Bạn Long lấy được quả màu trắng có 6 cách

Công đoạn 2. Bạn Hải lấy được quả màu đen có 7 cách

Theo quy tắc nhân, tập hợp C có 6.7 = 42 (phần tử)

$P\left( C \right) = P\left( {AB} \right) = \frac{{n\left( C \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{42}}{{80}} = \frac{{21}}{{40}}$

b) $P\left( A \right).P\left( B \right) = \frac{3}{5}.\frac{7}{8} = \frac{{21}}{{40}}$

Vậy P(AB) = P(A).P(B).

Câu hỏi 1

Hai biến cố A và B trong HĐ1 độc lập hay không độc lập? Tại sao?

Cặp biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biển cố kia.

Nếu A xảy ra, tức là bạn Long lấy được quả bóng màu trắng từ hộp I. Vì bạn Hải lấy bóng từ hộp II vậy $P\left( B \right) = \frac{7}{8}$

Nếu A không xảy ra, tức là bạn Long lấy được quả bóng màu đen từ hộp I. Vì ban Hải lấy bóng từ hộp II vậy $P\left( B \right) = \frac{7}{8}$

Như vậy, xác suất xảy ra của biến cố B không thay đổi bởi việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố A.

Vì hai bạn lấy từ 2 hộp khác nhau nên $P\left( A \right) = \frac{3}{5}$ dù biến cố B xảy ra hay không xảy ra

Vậy A và B độc lập.

Luyện tập 1

Các học sinh lớp 11D làm thí nghiệm gieo hai loại hạt giống A và B. Xác suất để hai loại hạt giống A và B nảy mầm tương ứng là 0,92 và 0,88. Giả sử việc nảy mầm của hạt A và hạt B là độc lập với nhau. Dùng sơ đồ hình cây, tính xác suất để:

a) Hạt giống A nảy mầm còn hạt giống B không nảy mầm;

b) Hạt giống A không nảy mầm còn hạt giống B nảy mầm;

c) Ít nhất có một trong hai loại hạt giống nảy mầm.

Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì P(AB) = P(A).P(B).

Ta dùng sơ đồ hình cây để mô tả như sau:

Theo sơ đồ hình cây, ta có:

a) $P\left( {A\overline B } \right) = 0,92.0,12 = 0,1104$

b) $P\left( {\overline A B} \right) = 0,08.0,88 = 0,0704$

c) $P\left( {\overline A \overline B } \right) = 0,08.0,12 = 0,0096$

$P\left( {A \cup B} \right) = 1 - P\left( {\overline A \overline B } \right) = 1 - 0,0096 = 0,9904$