Advertisements (Quảng cáo)
Bài 16. Tìm nghiệm của các phương trình sau trong khoảng đã cho
a. \(\sin 2x = – {1 \over 2}\,\text{ với }\,0 < x < \pi \)
b. \(\cos \left( {x – 5} \right) = {{\sqrt 3 } \over 2}\,\text{ với }\, – \pi < x < \pi \)
a. Ta có: \(\sin 2x = – {1 \over 2} \Leftrightarrow \sin 2x = \sin \left( { – {\pi \over 6}} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{2x = – {\pi \over 6} + k2\pi } \cr {2x = {{7\pi } \over 6} + k2\pi } \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = – {\pi \over {12}} + k\pi } \cr {x = {{7\pi } \over {12}} + k\pi } \cr} } \right.\,\,\left( {k \in \mathbb Z} \right)\)
Với điều kiện \(0 < x < π\) ta có :
* \(0 < – {\pi \over {12}} + k\pi < \pi \Leftrightarrow {1 \over {12}} < k < {{13} \over {12}}\,\,k \in\mathbb Z\)
Nên\( k = 1\), khi đó ta có nghiệm \(x = {{11\pi } \over {12}}\)
* \(0 < {{7\pi } \over {12}} + k\pi < \pi \Leftrightarrow – {7 \over {12}} < k < {5 \over {12}}\,\,k \in\mathbb Z\)
Nên \(k = 0\), khi đó ta có nghiệm \(x = {{7\pi } \over {12}}\)
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm trong khoảng \((0 ; π)\) là :
\(x = {{7\pi } \over {12}}\,\text{ và }\,x = {{11\pi } \over {12}}\)
Advertisements (Quảng cáo)
b. \(\cos \left( {x – 5} \right) = {{\sqrt 3 } \over 2} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x – 5 = {\pi \over 6} + k2\pi } \cr {x – 6 = – {\pi \over 6} + 5 + k2\pi } \cr} } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{{x = {\pi \over 6} + 5 + k2\pi } \cr {x = – {\pi \over 6} + 5 + k2\pi } \cr} } \right.\)
Ta tìm \(k\) để điều kiện \(–π < x < π\) được thỏa mãn.
Xét họ nghiệm thứ nhất :
\(\eqalign{
& – \pi < {\pi \over 6} + 5 + k2\pi \Leftrightarrow – 7\pi – 30 < 12k\pi < 5\pi – 30 \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow – {7 \over {12}} – {{30} \over {12\pi }} < k < {5 \over {12}} – {{30} \over {12\pi }} \cr
& Vi\, – 1,38 < – {7 \over {12}} – {{30} \over {12\pi }} < k < {5 \over {12}} – {{30} \over {12\pi }} < – 0,37\,\,k \in\mathbb Z\,\text{ nên }\, \cr
& \,\,\,\,\, – 1,38 < k < – 0,37 \cr} \)
Chỉ có một giá trị \(k\) nguyên thỏa mãn các điều kiện đó là \(k = -1\).
Ta có nghiệm thứ nhất của phương trình là \(x = {\pi \over 6} + 5 – 2\pi = 5 – {{11\pi } \over 6}\)
Tương tự, xét họ nghiệm thứ hai :
\( – \pi < – {\pi \over 6} + 5 + k2\pi < \pi \Leftrightarrow – 5\pi – 30 < 12k\pi < 7\pi – 30.\) Vậy \(k = -1\)
Ta có nghiệm thứ hai của phương trình là \(x = – {\pi \over 6} + 5 – 2\pi = 5 – {{13\pi } \over 6}\)
Vậy : \(x = 5 – {{11\pi } \over 6}\,\text{ và }\,x = 5 – {{13\pi } \over 6}\)