Câu 19 trang 19 SGK Hình học 11 Nâng cao, Trong mặt phẳng tọa độ...

Bài 19. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng $\Delta :ax + by + c = 0$ và điểm $I\left( {{x_0};{y_o}} \right)$. Phép đối xứng tâm ${D_I}$ biến đường thẳng $△$ thành đường thẳng $△’$. Viết phương trình của $△’$

Giả sử $M (x , y) \in △$ và $M’ (x’ , y ‘) \in △’$ và I là trung điểm  của MM’ nên:

$x + x’ = 2{x_0},\,\,y + y’ = 2{y_0} \Rightarrow \left\{ {\matrix{{x = 2{x_0} - x’} \cr {y = 2{y_0} - y’} \cr} } \right.$

$M(x , y) ∈△$ nên

$\eqalign{ & a\left( {2{x_0} - x’} \right) + b\left( {2{y_0} - y’} \right) + c = 0 \cr & \Leftrightarrow 2a{x_0} + 2b{y_0} - ax’ - by’ + c = 0 \cr & \Leftrightarrow ax’ + by’ + c - 2\left( {a{x_0} + b{y_0} + c} \right) = 0 \cr}$

Vậy M’ nằm trên đường thẳng ảnh $△’$ có phương trình:

$ax + by + c – 2(ax_0+ by_0+ c) = 0$